1. Какая будет скорость второй частицы, v’2, после абсолютно упругого соударения частицы 1 массы m, налетевшей

Задача 1:
Для решения данной задачи нам потребуется закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

1. Начнем с закона сохранения импульса:
Первая частица массы m движется вдоль оси x и имеет начальную скорость \(v_1 = 8\) м/с.
Вторая частица массы 3m изначально покоится и движется вдоль оси y после соударения с углом \(\beta = 45^\circ\) к направлению движения первой частицы.

Масса и начальная скорость первой частицы:
\[m_1 = m\]
\[v_1 = 8 \, \text{м/с}\]

Масса и начальная скорость второй частицы:
\[m_2 = 3m\]
\[v_2 = ?\]

Закон сохранения импульса:
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2"\]

После соударения первая частица продолжает двигаться вдоль оси x, но ее скорость изменяется и становится равной \(v_1"\).
Вторая частица после соударения движется под углом \(\beta\) к направлению первой частицы и ее скорость становится равной \(v_2"\).

Так как вторая частица изначально покоится, вторая скорость \(v_2\) равна нулю.
Для упрощения выражения можно заменить \(v_2" = v_2 \cdot \sin(\beta)\), так как \(\beta = 45^\circ\).
Таким образом, уравнение закона сохранения импульса выглядит следующим образом:
\[m_1v_1 = m_1v_1" + m_2v_2"\]

Подставляем известные значения:
\[mv_1 = mv_1" + 3mv_2 \cdot \sin(45^\circ)\]
\[8m = mv_1" + 3mv_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]
\[8 = v_1" + \frac{3v_2}{\sqrt{2}}\]

2. Теперь используем закон сохранения энергии:
Энергия системы частиц до соударения равна энергии после соударения.

Кинетическая энергия первой частицы до соударения:
\[E_1 = \frac{1}{2}m_1v_1^2\]

Кинетическая энергия второй частицы до соударения:
\[E_2 = 0\]

Кинетическая энергия системы частиц после соударения:
\[E_{\text{total}} = \frac{1}{2}m_1v_1"^2 + \frac{1}{2}m_2v_2"^2\]

Уравнение закона сохранения энергии:
\[E_1 + E_2 = E_{\text{total}}\]

Подставляем известные значения и решаем уравнение:
\[\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_1"^2 + \frac{1}{2}(3mv_2 \cdot \sin(45^\circ))^2\]
\[8^2 = v_1"^2 + (3v_2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})^2\]
\[64 = v_1"^2 + \frac{9v_2^2}{2}\]

Объединяем два полученных уравнения:
\[8 = v_1" + \frac{3v_2}{\sqrt{2}}\]
\[64 = v_1"^2 + \frac{9v_2^2}{2}\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными \(v_1"\) и \(v_2\). Решим ее:

1. Выразим \(v_1"\) из первого уравнения:
\(v_1" = 8 - \frac{3v_2}{\sqrt{2}}\)

2. Подставим это значение во второе уравнение:
\[64 = \left(8 - \frac{3v_2}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{9v_2^2}{2}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(v_2\).

Задача 2:
В данной задаче рассеяние частицы происходит под определенным углом.
Для нахождения энергии частицы после рассеяния нам понадобится закон сохранения энергии-импульса и закон сохранения энергии.

По закону сохранения энергии-импульса можно записать:
\[m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1" + m_2v_2"\]

где
\(m_1\) и \(m_2\) - массы сталкивающихся частиц,
\(v_1\) и \(v_2\) - начальные скорости сталкивающихся частиц,
\(v_1"\) и \(v_2"\) - скорости частиц после рассеяния.

Так как налетающая частица рассеялась на угол 60°, можно выразить начальную и конечную скорости через их компоненты вдоль и поперек направления налетающей частицы:
\[v_1 = v \cos(\theta_1), \quad v_1" = v \cos(\theta_1")\]
\[v_2 = v \sin(\theta_1), \quad v_2" = v \sin(\theta_1")\]

где
\(v\) - начальная скорость налетающей частицы,
\(\theta_1\) - угол налета налетающей частицы,
\(\theta_1"\) - угол рассеяния налетающей частицы.

Также можно ввести безразмерный коэффициент \(k\), связывающий массу частицы \(m_1\) и \(m_2\) с их кинетическими энергиями:
\[k = \frac{m_2}{m_1}\]

Подставим выражения для скоростей в закон сохранения энергии-импульса:
\[m_1v \cos(\theta_1) + m_2v \sin(\theta_1) = m_1v \cos(\theta_1") + m_2v \sin(\theta_1")\]

Упростим это уравнение:
\[m_1 \cos(\theta_1) + m_2 \sin(\theta_1) = m_1 \cos(\theta_1") + m_2 \sin(\theta_1")\]
\[m_1 \cos(\theta_1) - m_1 \cos(\theta_1") = m_2 \sin(\theta_1") - m_2 \sin(\theta_1)\]
\[m_1(\cos(\theta_1) - \cos(\theta_1")) = m_2(\sin(\theta_1") - \sin(\theta_1))\]

Выразим \(\cos(\theta_1")\) через \(\cos(\theta_1)\) с помощью простого тригонометрического идентитета:
\[\cos(\theta_1") = \cos(\theta_1)\]

Подставим это обратно в уравнение:
\[m_1(\cos(\theta_1) - \cos(\theta_1)) = m_2(\sin(\theta_1") - \sin(\theta_1))\]
\[0 = m_2(\sin(\theta_1") - \sin(\theta_1))\]

Из этого уравнения следует, что либо \(m_2 = 0\) (что противоречит условию, так как масса частицы \(m_2\) не равна нулю), либо \(\sin(\theta_1") = \sin(\theta_1)\).

Учитывая, что в данной задаче частица рассеивается на угол 60° (\(\theta_1" = 60^\circ\)), получаем:
\[\sin(\theta_1") = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Таким образом, скорость частицы после рассеяния будет:
\[v_1" = v \cos(\theta_1") = v \cos(60^\circ)\]
\[v_2" = v \sin(\theta_1") = v \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Подставим значения второго вопроса:
\[v = \sqrt{\frac{2K}{m_1}} = \sqrt{\frac{8 \cdot 10^{-6}}{m_1}}\]

После подстановки известных значений в полученные формулы вы получите ответы на оба вопроса.