1. Как найти седьмой элемент разложения выражения (2x-3)^10? 2. Как найти четвёртый элемент разложения выражения

1. Чтобы найти седьмой элемент разложения выражения \((2x-3)^{10}\), мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Эта формула дает нам возможность разложить выражение в сумму биномиальных коэффициентов, умноженных на исходные переменные с соответствующими степенями. В нашем случае, переменная \(x\) имеет степень \(1\), а константа \(-3\) имеет степень \(10-1 = 9\) (так как степень бинома равна \(10\)).

Формула бинома Ньютона выглядит следующим образом:
\((a+b)^n = \binom{n}{0} \cdot a^n \cdot b^0 + \binom{n}{1} \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + \binom{n}{2} \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + \binom{n}{n} \cdot a^0 \cdot b^n\),

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В нашем случае, \(n = 10\), \(a = 2x\) и \(b = -3\). Мы ищем седьмой элемент разложения, поэтому \(k = 7\). Мы можем посчитать все необходимые биномиальные коэффициенты и применить их к соответствующим переменным:

\(\binom{10}{7} \cdot (2x)^7 \cdot (-3)^{10-7} = \binom{10}{7} \cdot 2^7 \cdot x^7 \cdot (-3)^3\).

Теперь мы можем вычислить значения биномиальных коэффициентов и упростить выражение:

\(\binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120\),

\((-3)^3 = -27\).

Таким образом, седьмой элемент разложения выражения \((2x-3)^{10}\) равен \(120 \cdot 2^7 \cdot (-27) \cdot x^7 = -414720 \cdot x^7\).

Окончательный ответ: седьмой элемент разложения выражения \((2x-3)^{10}\) равен \(-414720 \cdot x^7\).

2. Чтобы найти четвертый элемент разложения выражения \(\frac{{(3\sqrt{a}+1)}}{{3\sqrt{a}}}\), мы также можем применить формулу бинома Ньютона, но с некоторыми модификациями, так как у нас имеются корни.

Представим выражение в следующем виде:
\(\frac{{(3\sqrt{a}+1)}}{{3\sqrt{a}}} = 1 + \frac{1}{{3\sqrt{a}}}\).

Теперь мы можем разложить второе слагаемое \(\frac{1}{{3\sqrt{a}}}\) в бесконечную сумму:

\(\frac{1}{{3\sqrt{a}}} = \frac{1}{{3a^{\frac{1}{2}}}} = \frac{1}{{3}} \cdot \frac{1}{{a^{\frac{1}{2}}}} = \frac{1}{{3}} \cdot \frac{1}{{a^{\frac{1}{2}}}} \cdot \frac{{a^{\frac{1}{2}}}}{{a^{\frac{1}{2}}}} = \frac{a^{\frac{1}{2}}}{{3a}} = \frac{1}{{3a}} \cdot a^{\frac{1}{2}}\).

Таким образом, четвертый элемент разложения будет равен \(0\), так как в этом выражении стоит \(a^{\frac{1}{2}}\). Мы можем убедиться в этом, вычислив остальные элементы разложения:

\(\binom{0}{0} \cdot 1 \cdot 1^0 = 1\),

\(\binom{1}{1} \cdot 1 \cdot 1^1 = 1\),

\(\binom{2}{0} \cdot 1 \cdot 1^2 = 1\),

\(\binom{3}{2} \cdot 1 \cdot 1^3 = 3\),

и так далее.

Окончательный ответ: четвертый элемент разложения выражения \(\frac{{(3\sqrt{a}+1)}}{{3\sqrt{a}}}\) равен \(0\), так как стоит \(a^{\frac{1}{2}}\).