1.) Как найти площадь земельного участка, ограниченного функцией у=3х² и прямыми х=1, х=2 и у=0? 2.) Как расчитать

1.) Чтобы найти площадь земельного участка, ограниченного функцией \(y = 3x^2\) и прямыми \(x = 1\), \(x = 2\) и \(y = 0\), мы можем использовать метод определенного интеграла.

Сначала нужно определить, в каких точках эти графики пересекаются. Подставим \(x = 1\) и \(x = 2\) в уравнение функции \(y = 3x^2\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x = 1\): \(y = 3 \cdot 1^2 = 3\)
Для \(x = 2\): \(y = 3 \cdot 2^2 = 12\)

Теперь у нас есть все точки пересечения графиков: (1, 3), (2, 12), (1, 0) и (2, 0).

Чтобы найти площадь участка, ограниченного этими графиками, мы должны интегрировать функцию \(y - 0\) от \(x = 1\) до \(x = 2\):

\[
\int_{1}^{2} (3x^2 - 0) \, dx
\]

Интегрируя, получаем:

\[
\left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7
\]

Таким образом, площадь земельного участка, ограниченного функцией \(y = 3x^2\) и прямыми \(x = 1\), \(x = 2\) и \(y = 0\), равна 7 квадратным единицам.

2.) Чтобы найти площадь участка, ограниченного функцией \(y = 2x\), прямыми \(x = 2\), \(x = 3\) и участком оси \(Ox\) от 2 до 3, мы можем использовать тот же метод.

Сначала нужно определить точки пересечения графиков. Подставим \(x = 2\) и \(x = 3\) в уравнение функции \(y = 2x\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x = 2\): \(y = 2 \cdot 2 = 4\)
Для \(x = 3\): \(y = 2 \cdot 3 = 6\)

Теперь у нас есть все точки пересечения графиков: (2, 4), (3, 6), (2, 0) и (3, 0).

Чтобы найти площадь участка, ограниченного этими графиками, мы должны интегрировать функцию \(y - 0\) от \(x = 2\) до \(x = 3\):

\[
\int_{2}^{3} (2x - 0) \, dx
\]

Интегрируя, получаем:

\[
\left[ x^2 \right]_{2}^{3} = 3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5
\]

Таким образом, площадь участка, ограниченного функцией \(y = 2x\), прямыми \(x = 2\), \(x = 3\) и участком оси \(Ox\) от 2 до 3, равна 5 квадратным единицам.

3.) Чтобы вычислить площадь участка, ограниченного функцией \(y = x^3\), прямыми \(x = 1\), \(x = 3\) и участком оси \(Ox\) от 1 до 3, мы также можем использовать метод определенного интеграла.

Сначала нужно найти точки пересечения графиков. Подставим \(x = 1\) и \(x = 3\) в уравнение функции \(y = x^3\), чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(x = 1\): \(y = 1^3 = 1\)
Для \(x = 3\): \(y = 3^3 = 27\)

Теперь у нас есть все точки пересечения графиков: (1, 1), (3, 27), (1, 0) и (3, 0).

Чтобы найти площадь участка, ограниченного этими графиками, мы должны интегрировать функцию \(y - 0\) от \(x = 1\) до \(x = 3\):

\[
\int_{1}^{3} (x^3 - 0) \, dx
\]

Интегрируя, получаем:

\[
\left[ \frac{{x^4}}{4} \right]_{1}^{3} = \frac{{3^4}}{4} - \frac{{1^4}}{4} = \frac{{81}}{4} - \frac{{1}}{4} = \frac{{80}}{4} = 20
\]

Таким образом, площадь участка, ограниченного функцией \(y = x^3\), прямыми \(x = 1\), \(x = 3\) и участком оси \(Ox\) от 1 до 3, равна 20 квадратным единицам.

4.) Чтобы определить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = -x^2 + 9\) и \(y = 0\), мы можем воспользоваться методом определенного интеграла.

Сначала найдем точки пересечения графиков. Подставим \(y = 0\) в уравнение \(y = -x^2 + 9\):

\(0 = -x^2 + 9\)

Чтобы найти значения \(x\), решим это уравнение:

\(x^2 = 9\)

\(x = \pm 3\)

Таким образом, фигура ограничена линиями \(y = -x^2 + 9\), \(y = 0\) и осью \(Ox\) в интервале от \(-3\) до \(3\).

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны интегрировать функцию \(y\) от \(-3\) до \(3\):

\[
\int_{-3}^{3} (-x^2 + 9) \, dx
\]

Интегрируя, получаем:

\[
\left[ -\frac{{x^3}}{3} + 9x \right]_{-3}^{3} = \left( -\frac{{3^3}}{3} + 9 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{{(-3)^3}}{3} + 9 \cdot (-3) \right) = \left( -9 + 27 \right) - \left( 9 - 27 \right) = 18 + 18 = 36
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = -x^2 + 9\) и \(y = 0\), равна 36 квадратным единицам.

5.) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(y = -x + 2\), мы также можем использовать метод определенного интеграла.

Сначала найдем точки пересечения графиков. Подставим уравнения \(y = x^2\) и \(y = -x + 2\) друг в друга:

\(x^2 = -x + 2\)

\(x^2 + x - 2 = 0\)

Решим это квадратное уравнение:

\((x - 1)(x + 2) = 0\)

\(x = 1\) или \(x = -2\)

Таким образом, фигура ограничена линиями \(y = x^2\), \(y = -x + 2\) и осью \(Ox\) в интервале от \(-2\) до \(1\).

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы должны интегрировать функцию \(y\) от \(-2\) до \(1\):

\[
\int_{-2}^{1} (x^2 - (-x + 2)) \, dx
\]

Интегрируя, получаем:

\[
\left[ \frac{{x^3}}{3} + \frac{{x^2}}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{{1^3}}{3} + \frac{{1^2}}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{{(-2)^3}}{3} + \frac{{(-2)^2}}{2} + 2 \cdot (-2) \right) = \left( \frac{{1}}{3} + \frac{{1}}{2} + 2 \right) - \left( \frac{{-8}}{3} + 2 + (-4) \right) = \frac{{11}}{6} - \frac{{-2}}{3} = \frac{{11}}{6} + \frac{{2}}{3} = \frac{{11 + 4}}{6} = \frac{{15}}{6} = \frac{{5}}{2}
\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2\) и \(y = -x + 2\), равна \(\frac{{5}}{2}\) квадратным единицам.