1) Как можно определить угловое ускорение тела, используя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной

1) Угловое ускорение тела можно определить, используя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме следующим образом:

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме гласит, что мгновенное увеличение кинетической энергии \(dK\) вращающегося тела равно произведению углового ускорения \(\alpha\) на мгновенный момент инерции \(I\) этого тела, умноженному на элемент угла \(d\theta\), то есть:

\[dK = I \cdot \alpha \cdot d\theta\]

Где:
\(dK\) - мгновенное увеличение кинетической энергии
\(\alpha\) - угловое ускорение тела
\(I\) - момент инерции тела
\(d\theta\) - элемент угла

Обоснование:
Для произвольного момента времени, приращение угла \(\Delta \theta\) может быть представлено как сумма всех элементарных изменений угла \(d\theta\) от начального момента времени до конечного. Подставляя эту сумму в выражение для мгновенного увеличения кинетической энергии, получаем:

\[\Delta K = \int dK = \int I \cdot \alpha \cdot d\theta\]

Таким образом, при достаточно малых приращениях угла, это интегральное выражение становится дифференциальным. Используя эту теорему, мы можем определить угловое ускорение тела, зная момент инерции и изменение угла.

2) Чтобы определить угловую скорость тела 1 после заданного перемещения, когда угол \(\theta_1\) равен \(2\pi\) радиан или расстояние \(S_1\) равно 2 метрам при начальных условиях покоя, мы можем использовать теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме утверждает, что изменение кинетической энергии тела равно работе, совершенной приложенной к телу силы момента:

\[K_2 - K_1 = W_{\text{сум}} = \int \tau \cdot d\theta\]

Где:
\(K_1\) - начальная кинетическая энергия тела
\(K_2\) - конечная кинетическая энергия тела
\(W_{\text{сум}}\) - суммарная работа силы момента
\(\tau\) - сила момента
\(d\theta\) - элемент угла

В данной задаче исходное тело находится в состоянии покоя, поэтому начальная кинетическая энергия \(K_1\) равна нулю. Также, сила момента \(\tau\) может быть выражена как произведение момента инерции \(I\) на угловое ускорение \(\alpha\). Подставляя эти значения, получаем:

\[K_2 = \int I \cdot \alpha \cdot d\theta = I \int \alpha \cdot d\theta\]

Таким образом, чтобы определить угловую скорость тела 1 после заданного перемещения, нам необходимо вычислить интеграл от \(\alpha\) по элементарному углу \(\theta\) от 0 до \(2\pi\).