1) Как можно определить угловое ускорение тела, используя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной

1) Угловое ускорение тела можно определить, используя теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме следующим образом:

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме гласит, что мгновенное увеличение кинетической энергии $dK$ вращающегося тела равно произведению углового ускорения $\alpha$ на мгновенный момент инерции $I$ этого тела, умноженному на элемент угла $d\theta$, то есть:

$$dK=I\cdot \alpha \cdot d\theta$$

Где:
$dK$ - мгновенное увеличение кинетической энергии
$\alpha$ - угловое ускорение тела
$I$ - момент инерции тела
$d\theta$ - элемент угла

Обоснование:
Для произвольного момента времени, приращение угла $\mathrm{\Delta }\theta$ может быть представлено как сумма всех элементарных изменений угла $d\theta$ от начального момента времени до конечного. Подставляя эту сумму в выражение для мгновенного увеличения кинетической энергии, получаем:

$$\mathrm{\Delta }K=\int dK=\int I\cdot \alpha \cdot d\theta$$

Таким образом, при достаточно малых приращениях угла, это интегральное выражение становится дифференциальным. Используя эту теорему, мы можем определить угловое ускорение тела, зная момент инерции и изменение угла.

2) Чтобы определить угловую скорость тела 1 после заданного перемещения, когда угол ${\theta }_1$ равен $2\pi$ радиан или расстояние $S_1$ равно 2 метрам при начальных условиях покоя, мы можем использовать теорему об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме утверждает, что изменение кинетической энергии тела равно работе, совершенной приложенной к телу силы момента:

$$K_2-K_1=W_{\text{сум}}=\int \tau \cdot d\theta$$

Где:
$K_1$ - начальная кинетическая энергия тела
$K_2$ - конечная кинетическая энергия тела
$W_{\text{сум}}$ - суммарная работа силы момента
$\tau$ - сила момента
$d\theta$ - элемент угла

В данной задаче исходное тело находится в состоянии покоя, поэтому начальная кинетическая энергия $K_1$ равна нулю. Также, сила момента $\tau$ может быть выражена как произведение момента инерции $I$ на угловое ускорение $\alpha$. Подставляя эти значения, получаем:

$$K_2=\int I\cdot \alpha \cdot d\theta =I\int \alpha \cdot d\theta$$

Таким образом, чтобы определить угловую скорость тела 1 после заданного перемещения, нам необходимо вычислить интеграл от $\alpha$ по элементарному углу $\theta$ от 0 до $2\pi$.