1. Как можно найти собственные числа линейного оператора А? 2. Что произойдет с определителем матрицы четвертого

Конечно, я помогу вам разобраться с этими задачами по линейной алгебре. Давайте начнем.

1. Чтобы найти собственные числа линейного оператора $A$, нужно решить уравнение $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$, где $I$ - единичная матрица, $\lambda$ - собственное число, а $\mathbf{v}$ - собственный вектор. Полученные значения $\lambda$ являются собственными числами линейного оператора $A$.

2. Если каждый элемент матрицы четвертого порядка умножить на 2, то определитель новой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на 2 в четвертой степени. То есть, если исходная матрица имела определитель $D$, то новая матрица будет иметь определитель $2^{4}D=16D$.

3. Квадратная матрица является невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

4. Правило Крамера может использоваться только для решения систем уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных ($m=n$). В этом случае можно выразить каждую неизвестную через доли двух определителей: определитель матрицы коэффициентов системы и определитель матрицы свободных членов.

5. Матрица - это прямоугольная таблица чисел, разделенных на строки и столбцы. Определитель - это число, которое вычисляется для квадратной матрицы. Определитель матрицы не существует для матриц, не являющихся квадратными.

6. Минор - это определитель квадратной подматрицы исходной матрицы. Алгебраическое дополнение элемента матрицы - это произведение минора этого элемента на соответствующий знак ($(-1{)}^{i+j}$, где $i$ и $j$ - номер строки и столбца элемента).

7. Элементарные преобразования по методу Жордана-Гаусса применяются над матрицами в рамках решения систем линейных уравнений или нахождения обратных матриц. Такие преобразования включают изменение масштаба строки, смену местами строк и сложение строк с определенными коэффициентами.

Надеюсь, эти пояснения помогли вам разобраться в данных темах. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!