1. Как можно найти собственные числа линейного оператора А? 2. Что произойдет с определителем матрицы четвертого

Конечно, я помогу вам разобраться с этими задачами по линейной алгебре. Давайте начнем.

1. Чтобы найти собственные числа линейного оператора \(A\), нужно решить уравнение \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\), где \(I\) - единичная матрица, \(\lambda\) - собственное число, а \(\mathbf{v}\) - собственный вектор. Полученные значения \(\lambda\) являются собственными числами линейного оператора \(A\).

2. Если каждый элемент матрицы четвертого порядка умножить на 2, то определитель новой матрицы будет равен произведению определителя исходной матрицы на 2 в четвертой степени. То есть, если исходная матрица имела определитель \(D\), то новая матрица будет иметь определитель \(2^4D = 16D\).

3. Квадратная матрица является невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.

4. Правило Крамера может использоваться только для решения систем уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных (\(m=n\)). В этом случае можно выразить каждую неизвестную через доли двух определителей: определитель матрицы коэффициентов системы и определитель матрицы свободных членов.

5. Матрица - это прямоугольная таблица чисел, разделенных на строки и столбцы. Определитель - это число, которое вычисляется для квадратной матрицы. Определитель матрицы не существует для матриц, не являющихся квадратными.

6. Минор - это определитель квадратной подматрицы исходной матрицы. Алгебраическое дополнение элемента матрицы - это произведение минора этого элемента на соответствующий знак (\((-1)^{i+j}\), где \(i\) и \(j\) - номер строки и столбца элемента).

7. Элементарные преобразования по методу Жордана-Гаусса применяются над матрицами в рамках решения систем линейных уравнений или нахождения обратных матриц. Такие преобразования включают изменение масштаба строки, смену местами строк и сложение строк с определенными коэффициентами.

Надеюсь, эти пояснения помогли вам разобраться в данных темах. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!