1) Как изменяются координаты точки, если скорость её движения описывается функцией v(t) = t + 3t^2 и в начальный момент

1) Рассмотрим каждый пункт по отдельности:

а) Если точка находится в начале координат в начальный момент времени (t=0), то ее начальные координаты равны (0, 0). Для определения изменения координат точки используем формулу для расчета пути прямолинейно движущегося тела:

\[s(t) = \int v(t) \, dt\]

где s(t) - положение точки в момент времени t, v(t) - скорость точки.

Вычислим значение интеграла:

\[s(t) = \int (t + 3t^2) \, dt\]

\[s(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^3 + C\]

где C - постоянная интегрирования. Для определения значения постоянной C, подставим начальные условия t=0, s(0)=(0,0):

\[0 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 0^3 + C\]

\[C = 0\]

Таким образом, уравнение пути точки будет иметь вид:

\[s(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^3\]

Теперь, для определения изменения координат точки, найдем ее положение в каждый момент времени:

Для t=1:

\[s(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 + 1^3\]

\[s(1) = \frac{1}{2} + 1\]

\[s(1) = \frac{3}{2}\]

Таким образом, координаты точки в момент времени t=1 будут (1,5, 1,5).

б) Если начальная координата точки равна 1, то s(0)=(1, 1). По аналогии со случаем а), определим уравнение пути точки:

\[s(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^3 + C\]

Для t=0, s(0)=(1,1):

\[1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 0^3 + C\]

\[C = 1\]

Таким образом, уравнение пути точки будет иметь вид:

\[s(t) = \frac{1}{2}t^2 + t^3 + 1\]

Для определения изменения координат точки, найдем ее положение в каждый момент времени:

Для t=1:

\[s(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^2 + 1^3 + 1\]

\[s(1) = \frac{1}{2} + 1 + 1\]

\[s(1) = \frac{5}{2}\]

Таким образом, координаты точки в момент времени t=1 будут (1,5, 2,5).

2) Для нахождения координаты точки в момент времени t=1.5, воспользуемся заданной формулой скорости:

\[v = \cos(\pi t)\]

Найдем интеграл скорости для определения положения точки:

\[s(t) = \int \cos(\pi t) \, dt\]

\[s(t) = -\frac{1}{\pi} \sin(\pi t) + C\]

Теперь, найдем значение постоянной C, используя начальные условия при t=2, s(2)=2:

\[2 = -\frac{1}{\pi} \sin(\pi \cdot 2) + C\]

\[2 = \frac{1}{\pi} + C\]

\[C = 2 - \frac{1}{\pi}\]

Таким образом, уравнение пути точки будет иметь вид:

\[s(t) = -\frac{1}{\pi} \sin(\pi t) + 2 - \frac{1}{\pi}\]

Для нахождения координаты точки в момент времени t=1.5, подставим t=1.5 в уравнение пути:

\[s(1.5) = -\frac{1}{\pi} \sin(\pi \cdot 1.5) + 2 - \frac{1}{\pi}\]

Теперь вычислим значение координаты точки:

\[s(1.5) = -\frac{1}{\pi} \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2 - \frac{1}{\pi}\]

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\]

\[s(1.5) = \frac{1}{\pi} - 1 + 2 - \frac{1}{\pi}\]

\[s(1.5) = \frac{2}{\pi} + 1\]

Таким образом, координата точки в момент времени t=1.5 будет равна (1.5, 2.71).

Теперь найдем координату точки при t=3.5, используя аналогичный подход:

\[s(3.5) = -\frac{1}{\pi} \sin(\pi \cdot 3.5) + 2 - \frac{1}{\pi}\]

\[\sin(\pi \cdot 3.5) = -\sin(\pi \cdot 0.5) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1\]

\[s(3.5) = \frac{1}{\pi} - 1 + 2 - \frac{1}{\pi}\]

\[s(3.5) = \frac{2}{\pi} + 1\]

Таким образом, координата точки при t=3.5 также будет равна (3.5, 2.71).

3) Для нахождения массы куска стержня, нам нужно знать закон изменения плотности стержня. Однако, поскольку в задаче указано, что плотность стержня является неоднородной, то нам необходима дополнительная информация о законе изменения плотности вдоль стержня.

Если такая информация имеется, пожалуйста, предоставьте ее, и я смогу помочь вам с решением задачи.