1. Изучите следующие элементарные фразы: А = Река Днепр впадает в Чёрное море , B = 45 - простое число , C = Вена

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

1. Для определения, какие фразы истинные, а какие ложные, мы должны посмотреть на каждую фразу по отдельности и оценить ее достоверность.

- Фраза A: "Река Днепр впадает в Чёрное море". Эта фраза истинная, так как Река Днепр действительно впадает в Чёрное море.
- Фраза B: "45 - простое число". Эта фраза ложная, так как 45 делится на 3 и 15, а значит не является простым числом.
- Фраза C: "Вена - столица Австрии". Эта фраза истинная, так как Вена действительно является столицей Австрии.
- Фраза D: "О - натуральное число". Эта фраза истинная, так как число 0 не является натуральным числом.

Итак, истинные фразы: A и C. Ложные фразы: B и D.

2. Теперь составим сложные фразы, используя логические операции с фразами A, B, C и D.

- Логические операции:
- \((A \& B)\) - Река Днепр впадает в Чёрное море И 45 - простое число.
- \((B | C)\) - 45 - простое число ИЛИ Вена - столица Австрии.
- \((A \rightarrow D)\) - Если река Днепр впадает в Чёрное море, то О - натуральное число.

3. Теперь посчитаем, сколько новых фраз можно получить с использованием отрицания (инверсии). Мы можем инвертировать каждую из исходных фраз A, B, C и D.

- Инвертированные фразы:
- \(\neg A\) - Река Днепр не впадает в Чёрное море.
- \(\neg B\) - 45 не является простым числом.
- \(\neg C\) - Вена не является столицей Австрии.
- \(\neg D\) - О не является натуральным числом.

Итак, мы получили 4 новые фразы с использованием отрицания.

4. Теперь посчитаем, сколько новых фраз можно получить с использованием конъюнкции. Мы можем объединить каждую из фраз A, B, C и D с другой фразой, используя операцию И (\&).

- Конъюнкции:
- \(A \& B\) - Река Днепр впадает в Чёрное море И 45 - простое число.
- \(A \& C\) - Река Днепр впадает в Чёрное море И Вена - столица Австрии.
- \(A \& D\) - Река Днепр впадает в Чёрное море И О - натуральное число.
- \(B \& C\) - 45 - простое число И Вена - столица Австрии.
- \(B \& D\) - 45 - простое число И О - натуральное число.
- \(C \& D\) - Вена - столица Австрии И О - натуральное число.

Итак, мы получили 6 новых фраз с использованием конъюнкции.

5. Теперь посчитаем, сколько новых фраз можно получить с использованием дизъюнкции. Мы можем объединить каждую из фраз A, B, C и D с другой фразой, используя операцию ИЛИ (|).

- Дизъюнкции:
- \(A | B\) - Река Днепр впадает в Чёрное море ИЛИ 45 - простое число.
- \(A | C\) - Река Днепр впадает в Чёрное море ИЛИ Вена - столица Австрии.
- \(A | D\) - Река Днепр впадает в Чёрное море ИЛИ О - натуральное число.
- \(B | C\) - 45 - простое число ИЛИ Вена - столица Австрии.
- \(B | D\) - 45 - простое число ИЛИ О - натуральное число.
- \(C | D\) - Вена - столица Австрии ИЛИ О - натуральное число.

Итак, мы получили 6 новых фраз с использованием дизъюнкции.

6. Наконец, сколько новых фраз мы можем получить, используя операцию импликации (следования) \(P \rightarrow Q\)? Для каждой из фраз A, B, C и D мы можем создать 3 новые фразы, комбинируя их с другими фразами.

- Импликации:
- \(A \rightarrow B\) - Если река Днепр впадает в Чёрное море, то 45 - простое число.
- \(A \rightarrow C\) - Если река Днепр впадает в Чёрное море, то Вена - столица Австрии.
- \(A \rightarrow D\) - Если река Днепр впадает в Чёрное море, то О - натуральное число.
- \(B \rightarrow A\) - Если 45 - простое число, то река Днепр впадает в Чёрное море.
- \(B \rightarrow C\) - Если 45 - простое число, то Вена - столица Австрии.
- \(B \rightarrow D\) - Если 45 - простое число, то О - натуральное число.
- \(C \rightarrow A\) - Если Вена - столица Австрии, то река Днепр впадает в Чёрное море.
- \(C \rightarrow B\) - Если Вена - столица Австрии, то 45 - простое число.
- \(C \rightarrow D\) - Если Вена - столица Австрии, то О - натуральное число.
- \(D \rightarrow A\) - Если О - натуральное число, то река Днепр впадает в Чёрное море.
- \(D \rightarrow B\) - Если О - натуральное число, то 45 - простое число.
- \(D \rightarrow C\) - Если О - натуральное число, то Вена - столица Австрии.

Итак, мы получили 12 новых фраз с использованием импликации.

Я надеюсь, что этот подробный ответ поможет вам лучше понять задачу и логические операции. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.