1) Изучите поведение функции y = -(3x-1)^5/3 20x в отношении монотонности и экстремумов. 2) Определите максимальное

Для решения задачи, давайте сначала проанализируем поведение функции \(y = -(3x-1)^{\frac{5}{3}} + 20x\).

1) Монотонность функции:
Для определения монотонности функции, необходимо исследовать ее производную. Вычислим производную функции \(y\) по переменной \(x\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}\left[-(3x-1)^{\frac{5}{3}} + 20x\right]
\]

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{d(3x-1)}} \cdot \frac{{d(3x-1)}}{{dx}} + 20
\]

Раскроем сложные дифференциалы:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{d(3x-1)}} \cdot 3 + 20
\]

Дифференцируем функцию \(-(3x-1)^{\frac{5}{3}}\) по \((3x-1)\) с помощью цепного правила:

\[
\frac{{dy}}{{d(3x-1)}} = \frac{5}{3} \cdot (-(3x-1))^{\frac{5}{3}-1} \cdot (-3)
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{{dy}}{{d(3x-1)}} = -5 \cdot (3x-1)^{\frac{2}{3}}
\]

Теперь подставим это значение в выражение для \(\frac{{dy}}{{dx}}\):

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -5 \cdot (3x-1)^{\frac{2}{3}} \cdot 3 + 20
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -15 \cdot (3x-1)^{\frac{2}{3}} + 20
\]

Исследуем знак производной. Для этого найдем точки, где производная равна нулю:

\[
-15 \cdot (3x-1)^{\frac{2}{3}} + 20 = 0
\]

\[
-15 \cdot (3x-1)^{\frac{2}{3}} = -20
\]

\[
(3x-1)^{\frac{2}{3}} = \frac{20}{15}
\]

Возведем обе части в куб:

\[
(3x-1)^2 = \left(\frac{20}{15}\right)^3
\]

Раскроем скобки:

\[
9x^2 - 6x + 1 = \frac{8}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{8}{3}
\]

Упростим выражение:

\[
9x^2 - 6x + 1 = \frac{512}{27}
\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[
9x^2 - 6x + 1 - \frac{512}{27} = 0
\]

Решим получившееся квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot \left(1 - \frac{512}{27}\right)
\]

Выполним вычисления:

\[
D = 36 - 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{27 - 512}{27}\right) = 36 - 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{-485}{27}\right)
\]

\[
D = 36 - 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{-485}{27}\right) = 36 + 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{485}{27}\right)
\]

\[
D = 36 + 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{485}{27}\right) = 36 + 4 \cdot 9 \cdot \left(\frac{485}{27}\right)
\]

\[
D = 11664 + 4 \cdot 9 \cdot 485
\]

\[
D = 11664 + 17460 = 29124
\]

Так как \(D > 0\), то уравнение имеет два различных корня:

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{29124}}{18}
\]

\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{29124}}{18}
\]

Вычислим значения производной в точках \(x_1\) и \(x_2\) и определим их знаки.

Теперь проведем знаковую таблицу для производной:

\[
\begin{array}{c|c|c|c}
\text{Интервалы} & (-\infty, x_1) & (x_1, x_2) & (x_2, +\infty) \\
\hline
\frac{{dy}}{{dx}} & + & - & +
\end{array}
\]

Таким образом, функция \(y\) возрастает на интервале \((-\infty, x_1)\), убывает на интервале \((x_1, x_2)\) и снова возрастает на интервале \((x_2, +\infty)\).

2) Экстремумы функции:
Экстремумами функции будут являться точки, в которых производная обращается в ноль.

Так как мы уже рассмотрели знак производной, мы знаем, что на интервале \((-\infty, x_1)\) функция \(y\) возрастает, значит, в этом интервале не будет экстремумов.

Аналогично, на интервале \((x_2, +\infty)\) функция \(y\) также возрастает, значит, и здесь экстремумов нет.

На интервале \((x_1, x_2)\) функция \(y\) убывает. Для нахождения экстремума этой функции необходимо найти точку, в которой производная \(y\) меняет знак, то есть становится положительной или отрицательной (производная обращается в ноль).

Мы уже рассчитали значения производной в точках \(x_1\) и \(x_2\) и определили их знаки. Отсюда видим, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при переходе от точки \(x_1\) к точке \(x_2\). Следовательно, в точке \(x_2\) будет минимум.

Для определения максимального и минимального значения функции на полуинтервале, нам также необходимо изучить ее поведение на бесконечностях полуинтервала, то есть при \(x \rightarrow -\infty\) и \(x \rightarrow +\infty\).

При \(x \rightarrow -\infty\), функция \(y\) будет стремиться к бесконечности (\(y \rightarrow -\infty\)).

При \(x \rightarrow +\infty\), функция \(y\) также будет стремиться к бесконечности (\(y \rightarrow +\infty\)).

Итак, на полуинтервале максимальное значение функции не существует, так как функция стремится к плюс бесконечности, но не достигает определенного значения. Минимальное значение функции на полуинтервале будет достигаться в точке \(x_2\).

Таким образом, в результате анализа получаем:
1) Функция \(y\) возрастает на интервале \((-\infty, x_1)\), убывает на интервале \((x_1, x_2)\) и снова возрастает на интервале \((x_2, +\infty)\).
2) Единственный экстремум функции \(y\) будет в точке \(x_2\).
3) Максимального значения функции на полуинтервале не существует, а минимальное значение будет достигаться в точке \(x_2\).