№1 Из следующих трех векторов, какие будут компланарны с кубом авсdа1в1с1в1? №2 Каковы координаты точки е, являющейся

№1 Для того чтобы определить, какие векторы будут компланарны с вектором авсdа1в1с1в1, необходимо найти их линейные комбинации и проверить, будут ли они лежать в одной плоскости с данным вектором.

Вектор авсdа1в1с1в1 имеет координаты (a, b, c), и векторы, о которых идет речь, имеют координаты (x, y, z). Для того чтобы эти векторы были компланарны, векторное произведение должно быть равно нулю.

Векторное произведение векторов определяется следующим образом:
\[
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
a & b & c \\
x & y & z \\
\end{vmatrix}
\]

Раскрывая определитель, получаем:
\[
i(bz - cy) - j(az - cx) + k(ay - bx)
\]

Для того чтобы данное выражение было равно 0, необходимо, чтобы все коэффициенты при i, j и k равнялись 0. Подставим значения и решим получившуюся систему уравнений:

\[
\begin{cases}
bz - cy = 0\\
az - cx = 0\\
ay - bx = 0
\end{cases}
\]

Решив данную систему уравнений, мы получим значения компланарных векторов.

№2 Чтобы найти координаты точки е, являющейся серединой отрезка -р1н1, в призме мрнм1р1н1, где точки м (0, 0, 0), р (4, 4, 0), и н (0, 4, 0) являются вершинами, нам нужно найти среднее значение каждой координаты отрезка -р1н1.

Координаты точки р1 (-4, -4, 0) находятся ниже точки п (0, 0, 0) и на этой же высоте, поэтому x-координаты точек р и р1 будут одинаковыми. Аналогично, координаты точки н будут равны координатам точки н1 (0, 4, 0).

Таким образом, координаты точки е будут средними значениями координат точек р1 и н1:

\[
x_e = \frac{{x_р + x_{р1}}}{2} = \frac{{4 + (-4)}}{2} = 0
\]
\[
y_e = \frac{{y_р + y_{н1}}}{2} = \frac{{0 + 4}}{2} = 2
\]
\[
z_e = \frac{{z_р + z_{р1}}}{2} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0
\]

Таким образом, координаты точки е равны (0, 2, 0).

№3 Чтобы найти координаты точки е, являющейся серединой отрезка р1н1 в призме мрнм1р1н1, где точки а (2, 0, 0), р (4, 4, 0), и н (0, 4, 0) являются вершинами, мы должны сначала найти координаты точек р1 и н1.

Координаты точки р1 находятся ниже точки а, поэтому x-координаты точек р и р1 будут одинаковыми. Аналогично, координаты точки н1 будут равны координатам точки н.

Таким образом, координаты точки р1 будут (2, 4, 0), а координаты точки н1 будут (0, 4, 0).

Теперь, чтобы найти координаты точки е, являющейся серединой отрезка р1н1, мы должны найти среднее значение каждой координаты отрезка р1н1:

\[
x_е = \frac{{x_р + x_{р1}}}{2} = \frac{{4 + 2}}{2} = 3
\]
\[
y_е = \frac{{y_р + y_{н1}}}{2} = \frac{{4 + 4}}{2} = 4
\]
\[
z_е = \frac{{z_р + z_{р1}}}{2} = \frac{{0 + 0}}{2} = 0
\]

Таким образом, координаты точки е равны (3, 4, 0).

№4 Для того чтобы найти скалярное произведение векторов ве и сd в правильной четырехугольной пирамиде еавсd, где все ребра равны 2, мы можем использовать формулу скалярного произведения:

\[
\mathbf{ве} \cdot \mathbf{сd} = |\mathbf{ве}| \cdot |\mathbf{сd}| \cdot \cos(\theta)
\]

где |\mathbf{ве}| и |\mathbf{сd}| равны длинам векторов ве и сd соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Длина вектора ве равна длине ребра пирамиды, которое составляет 2. Аналогично, длина вектора сд также равна 2.

Теперь нам нужно найти угол \(\theta\) между векторами ве и сд. Для этого мы можем воспользоваться формулой, связывающей скалярное произведение и косинус угла между векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{ве} \cdot \mathbf{сд}}}{{|\mathbf{ве}| \cdot |\mathbf{сд}|}}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{ве} \cdot \mathbf{сд}}}{{2 \cdot 2}}
\]

Теперь можно рассчитать значение скалярного произведения:

\[
\mathbf{ве} \cdot \mathbf{сд} = 4 \cdot \cos(\theta)
\]

Таким образом, скалярное произведение векторов ве и сд равно 4 \cdot \cos(\theta).

№5 Для того чтобы найти периметр треугольника, образованного точками а (3, 0, 0), с (0, 4, 0), и d (0, 0, 0) в прямоугольной пирамиде, необходимо вычислить длины сторон этого треугольника.

Используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве, которая имеет вид:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}
\]

Расстояние между точками а и с:

\[
d_{ac} = \sqrt{{(0 - 3)^2 + (4 - 0)^2 + (0 - 0)^2}} = \sqrt{{9 + 16}} = \sqrt{{25}} = 5
\]

Расстояние между точками с и d:

\[
d_{cd} = \sqrt{{(0 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 0)^2}} = \sqrt{{0 + 16}} = \sqrt{{16}} = 4
\]

Расстояние между точками d и а:

\[
d_{ad} = \sqrt{{(3 - 0)^2 + (0 - 4)^2 + (0 - 0)^2}} = \sqrt{{9 + 16}} = \sqrt{{25}} = 5
\]

Теперь, чтобы найти периметр треугольника, мы суммируем длины всех сторон:

\[
\text{{периметр}} = d_{ac} + d_{cd} + d_{ad} = 5 + 4 + 5 = 14
\]

Таким образом, периметр треугольника равен 14.