1. Из 12 карточек с числами от 1 до 12 случайно выбираются две. Какова вероятность того, что на одной карточке будет

9?

Давайте решим оба этих задания по порядку.

Задание 1:
У нас есть 12 карточек, на каждой из которых написано число от 1 до 12. Мы должны выбрать две карточки таким образом, чтобы на одной из них было число больше 9, а на другой - число меньше 9.

Для решения этой задачи воспользуемся методом геометрической вероятности. Посмотрим на количество исходов, которые удовлетворяют нашим условиям. Если мы выберем карточку с числом больше 9, то у нас останется 8 карточек с числами меньше 9. Аналогично, если мы выберем карточку с числом меньше 9, у нас останется 4 карточки с числами больше 9.

Таким образом, у нас есть два случая:
1. Выбираем карточку с числом больше 9, а затем карточку с числом меньше 9. Вероятность этого случая равна \(\frac{4}{12} \times \frac{8}{11}\), где \(\frac{4}{12}\) - это вероятность выбрать карточку с числом больше 9, а \(\frac{8}{11}\) - это вероятность выбрать карточку с числом меньше 9 после выбора первой карточки.
2. Выбираем карточку с числом меньше 9, а затем карточку с числом больше 9. Вероятность этого случая также равна \(\frac{8}{12} \times \frac{4}{11}\), где \(\frac{8}{12}\) - это вероятность выбрать карточку с числом меньше 9, а \(\frac{4}{11}\) - это вероятность выбрать карточку с числом больше 9 после выбора первой карточки.

Теперь сложим вероятности обоих случаев, чтобы получить общую вероятность:
\[\frac{4}{12} \times \frac{8}{11} + \frac{8}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{4}{33} + \frac{8}{33} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11}\]

Итак, вероятность того, что на одной карточке будет число больше 9, а на другой - число меньше 9, равна \(\frac{4}{11}\).

Задание 2:
Здесь у нас также 12 карточек, на каждой из которых написано число от 1 до 12. Нам нужно определить вероятность того, что если выбрать две карточки случайным образом, то на одной будет число больше 9, а на другой - число меньше 9.

Поскольку у нас все 12 чисел различны и на каждой карточке есть только одно число, то у нас есть 6 карточек с числами больше 9 и 6 карточек с числами меньше 9.

Теперь у нас есть два случая:
1. Выбираем карточку с числом больше 9, а затем карточку с числом меньше 9. Вероятность этого случая равна \(\frac{6}{12} \times \frac{6}{11}\), где \(\frac{6}{12}\) - это вероятность выбрать карточку с числом больше 9, а \(\frac{6}{11}\) - это вероятность выбрать карточку с числом меньше 9 после выбора первой карточки.
2. Выбираем карточку с числом меньше 9, а затем карточку с числом больше 9. Вероятность этого случая также равна \(\frac{6}{12} \times \frac{6}{11}\), где \(\frac{6}{12}\) - это вероятность выбрать карточку с числом меньше 9, а \(\frac{6}{11}\) - это вероятность выбрать карточку с числом больше 9 после выбора первой карточки.

Теперь сложим вероятности обоих случаев, чтобы получить общую вероятность:
\[\frac{6}{12} \times \frac{6}{11} + \frac{6}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{3}{11}\]

Итак, вероятность того, что на одной карточке будет число больше 9, а на другой - число меньше 9, равна \(\frac{3}{11}\).