1) Если натуральное число не делится на 5, то оно не оканчивается на 0. 2) Если числo не оканчивается на 0

на любую другую цифру, кроме 0.

Давайте разберем каждую задачу поочередно.

1) Если натуральное число не делится на 5, то оно не оканчивается на 0.

Для начала, давайте рассмотрим, что значит "делится на 5". Для числа \(n\) говорят, что оно делится на 5, если при делении на 5 нет остатка. То есть, если при делении числа \(n\) на 5 получается целое число без остатка.

Теперь предположим, что у нас есть натуральное число \(n\), и оно не делится на 5. По определению, это значит, что при делении числа \(n\) на 5 есть остаток. То есть, мы можем записать это в виде \(n = 5k + r\), где \(k\) - некоторое целое число, а \(r\) - остаток от деления, и \(0 \leq r < 5\).

Теперь давайте рассмотрим последнюю цифру этого числа \(n\). Мы знаем, что \(n\) не оканчивается на 0. Но что это значит? Это значит, что последняя цифра, которую мы обозначим как \(d\), не равна нулю.

Теперь мы можем записать число \(n\) в виде полной суммы:
\[n = a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0\]

Так как последняя цифра \(d\) не равна нулю, то \(a_0 = d\) не равно нулю.

Теперь давайте рассмотрим, как \(n\) представлено в виде \(5k + r\). Мы можем подставить запись числа \(n\) и разложение числа \(n\) в ряд из предыдущего шага и получить:
\[a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0 = 5k + r\]

Теперь давайте поделим это уравнение на 5:
\[ \frac{a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0}{5} = k + \frac{r}{5}\]

Заметим, что первое слагаемое в левой части - это сумма цифр числа \(n\), разделенная на 5. А второе слагаемое - это остаток от деления на 5, разделенный на 5. Так как остаток от деления на 5 всегда меньше 5, то второе слагаемое будет меньше 1. Как следствие, правая часть уравнения \(k + \frac{r}{5}\) будет меньше, чем единица.

И теперь сделаем вывод: если число \(n\) не делится на 5, то сумма цифр числа \(n\), деленная на 5, будет равна целому числу \(k\) (без остатка). В свою очередь, это означает, что \(k\) не меньше единицы. Но так как \(k\) - целое число, \(k\) не может быть меньше единицы и быть равным или больше нуля одновременно.

То есть, если число \(n\) не делится на 5, то оно не оканчивается на 0.

2) Если число \(n\) не оканчивается на 0, то оно делится на 5.

Теперь давайте рассмотрим эту обратную задачу. Пусть у нас есть число \(n\), которое не оканчивается на 0. Мы хотим показать, что если число \(n\) не делится на 5, то это противоречит условию.

Для обратного доказательства, давайте предположим, что число \(n\) не делится на 5. То есть, при делении числа \(n\) на 5 получается остаток, обозначим его как \(r\), и \(0 < r < 5\).

Теперь давайте рассмотрим разложение числа \(n\) по степеням десятки:
\[n = a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0\]

Так как число \(n\) не оканчивается на 0, это значит, что последняя цифра \(a_0\), обозначим ее как \(d\), не равна нулю.

Теперь давайте поделим число \(n\) на 5:
\[\frac{n}{5} = \frac{a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0}{5} = \frac{a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1 + a_0 - a_0}{5} = \frac{a_m \times 10^m + a_{m-1} \times 10^{m-1} + \ldots + a_1 \times 10^1}{5} = k\]

Мы видим, что полученное выражение является целым числом без остатка. Это значит, что число \(n\) делится на 5.

Таким образом, если число \(n\) не оканчивается на 0, то оно обязательно делится на 5.

3) Если число \(n\) не оканчивается на 0, то оно делится на 5.

Эта задача аналогична предыдущей задаче 2). Верность этого утверждения уже была доказана в предыдущей части. Так что для данной задачи ответ - "да, если число \(n\) не оканчивается на 0, то оно делится на 5".

4) Если натуральное число не делится на 5, то оно оканчивается на любую другую цифру, кроме 0.

Для доказательства этого утверждения давайте использовать метод от противного.

Предположим, что есть натуральное число \(n\), которое не делится на 5, но оканчивается на 0. То есть, число \(n\) может быть записано в виде \(n = 10 \times k\), где \(k\) - некоторое другое натуральное число.

Теперь давайте разделим число \(n\) на 5:
\[\frac{n}{5} = \frac{10 \times k}{5} = 2 \times k\]

Мы видим, что получается целое число без остатка, что означает, что число \(n\) делится на 5.

Но мы предположили, что число \(n\) не делится на 5. Это означает, что наше предположение было неверным.

Таким образом, если натуральное число не делится на 5, то оно не может оканчиваться на 0. Оно обязательно будет оканчиваться на любую другую цифру, кроме 0.

Итак, мы рассмотрели все задачи и соответствующие им доказательства.