1. Если из точки Р проведены перпендикуляр РК и наклонная РМ, то какова длина отрезка РМ, если МК = 8 и РК

Хорошо, давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство перпендикуляра, которое говорит нам, что перпендикулярная линия образует прямой угол с другой линией. Мы знаем, что \( МК = 8 \) и \( РК = 15 \). Поэтому, если РК является гипотенузой прямоугольного треугольника РМК, то мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка РМ.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:
\[
РМ^{2} = РК^{2} - МК^{2}
\]
\[
РМ^{2} = 15^{2} - 8^{2}
\]
\[
РМ^{2} = 225 - 64
\]
\[
РМ^{2} = 161
\]

Таким образом, длина отрезка РМ равна \(\sqrt{161} \approx 12.688\) (округляем до трех десятичных знаков).

2. Чтобы найти расстояние от точки М до плоскости квадрата, нам нужно использовать свойство, что кратчайшее расстояние между точкой и плоскостью будет равно перпендикуляру, опущенному из этой точки на плоскость.

Мы знаем, что точка М находится на расстоянии 10 см от сторон квадрата. Также длина стороны квадрата равна 12 см.

Мы можем разделить это на две части: расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата и расстояние от ближайшей стороны квадрата до плоскости.

Для первой части, мы знаем, что расстояние от точки до ближайшей стороны квадрата будет \(10 - \frac{12}{2}\) (половина длины стороны квадрата). Таким образом, расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата равно 4 см.

Для второй части, нам нужно найти высоту треугольника, образованного ближайшей стороной квадрата и перпендикуляром, опущенным из точки М. Мы можем применить теорему Пифагора, чтобы найти эту высоту.

Зная длину стороны квадрата (12 см) и расстояние от точки М до ближайшей стороны (4 см), мы можем записать следующее:
\[
h^{2} = 12^{2} - 4^{2}
\]
\[
h^{2} = 144 - 16
\]
\[
h^{2} = 128
\]

Таким образом, высота равна \(\sqrt{128} \approx 11.314\) (округляем до трех десятичных знаков).

Тогда, искомое расстояние от точки М до плоскости квадрата будет равно сумме расстояния от точки М до ближайшей стороны и высоты треугольника:
\[
расстояние = 4 + 11.314 \approx 15.314
\]

3. Для решения этой задачи нам нужно использовать свойство перпендикуляра и параллелограмма. Мы знаем, что плоскости прямоугольника АВСD и параллелограмма ВLMC перпендикулярны, поэтому они образуют прямой угол.

Мы также знаем, что АВ = 2 см и СМ = 3 см. Чтобы найти длину отрезка МД, мы можем разделить параллелограмм ВLMC на два прямоугольника и использовать их свойства.

Мы можем обозначить длину отрезка МД как х.

Тогда, длина отрезка ДС будет равна х - 3, так как СМ = 3.

Мы можем обозначить длину отрезка ВМ как у.

Тогда, длина отрезка МЛ будет равна у - 2, так как АВ = 2.

Так как плоскости прямоугольника АВСД и параллелограмма ВLMC перпендикулярны, то прямоугольник МДС подобен прямоугольнику МРК. Мы можем использовать эту подобность, чтобы найти соотношение между длинами отрезков.

Мы знаем, что МК = 8 и РК = 15. Тогда мы можем записать следующее соотношение:
\[
\frac{МД}{ДС} = \frac{МР}{РК}
\]

Подставляя известные значения, мы получим:
\[
\frac{х}{х-3} = \frac{8}{15}
\]

Для решения этого уравнения, мы можем умножить оба выражения на 15 (чтобы избавиться от дробей):
\[
15х = 8(х-3)
\]

Раскрывая скобки, мы получаем:
\[
15х = 8х - 24
\]

Теперь мы можем решить это уравнение, выражая х:
\[
15х - 8х = -24
\]
\[
7х = -24
\]
\[
х = \frac{-24}{7}
\]

Таким образом, длина отрезка МД равна \(\frac{-24}{7}\) (округляем до трех десятичных знаков).

4. Чтобы найти расстояние от точки до ребра двугранного угла, нам нужно использовать свойство параллелепипеда, которое говорит нам, что для точки, удаленной от плоскости грани на расстояние \(d\), расстояние до ребра будет \(\frac{d}{\sqrt{3}}\).

Мы знаем, что двугранный угол равен 60° и точка на одной из его граней удалена на 6 см от плоскости другой грани. Поэтому расстояние от точки до ребра будет \(\frac{6}{\sqrt{3}}\).

Таким образом, расстояние от точки до ребра равно \(\frac{6}{\sqrt{3}}\) (округляем до трех десятичных знаков).