1. Докажите, что время, за которое тело падает на землю после вертикального всплеска, в два раза больше, чем время

Задача 1:
Чтобы доказать, что время, за которое тело падает на землю после вертикального всплеска, в два раза больше, чем время, за которое оно поднимается до максимальной высоты, рассмотрим движение тела под воздействием силы тяжести.

Введем обозначения:
\( t_1 \) - время, за которое тело поднимается до максимальной высоты,
\( t_2 \) - время, за которое тело падает на землю после вертикального всплеска.

Вертикальное движение тела можно разделить на два этапа:
1) Движение вверх до максимальной высоты.
2) Движение вниз от максимальной высоты до земли.

На первом этапе тело будет двигаться против силы тяжести (вертикальный бросок вверх), а на втором этапе - по направлению силы тяжести (падение на землю).

На каждом этапе тело будет иметь одинаковое ускорение \( g \), которое равно ускорению свободного падения.

Для вычисления времени вертикального броска вверх нас интересует расстояние, которое тело пройдет до максимальной высоты. Разделим это расстояние пополам, чтобы найти расстояние за первую половину времени вертикального всплеска. По формуле расстояния при равномерном движении под действием постоянного ускорения, имеем:

\[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \]

где \( h \) - максимальная высота подъема тела.

Теперь рассмотрим временной интервал падения на землю. Вторая половина времени вертикального всплеска будет занимать столько же времени, сколько было потрачено на первую половину. То есть \( t_2 = t_1 \).

Ускорение тела вниз будет равно ускорению свободного падения \( g \). Расстояние, которое тело пройдет за время падения, можно вычислить по формуле:

\[ h = \frac{1}{2} g t_2^2 \]

Теперь мы можем сравнить времена вертикального подъема и времена падения:

\[ t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

\[ t_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Заметим, что \( t_2 = t_1 \). Используя это, мы можем сказать, что время, за которое тело падает на землю после вертикального всплеска, в два раза больше, чем время, за которое оно поднимается до максимальной высоты. Доказательство завершено.

Задача 2:
Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться законом сохранения энергии.

Когда тело бросается вертикально вверх, оно приобретает кинетическую энергию, а по мере его подъема высота возрастает, тем самым потенциальная энергия тела увеличивается. При возвращении в исходную точку, потенциальная энергия тела становится равной нулю, так как высота равна 0.

Таким образом, кинетическая энергия тела при возвращении в исходную точку будет такой же, какая она была в начальный момент броска. Поскольку кинетическая энергия определяется формулой:

\[ E_{kin} = \frac{1}{2}mv^2 \]

где \( m \) - масса тела, а \( v \) - скорость тела.

У нас нет информации о массе тела, поэтому мы можем просто обозначить ее буквой \( m \). Тогда, чтобы найти скорость тела при возвращении в исходную точку, мы можем использовать следующее выражение:

\[ \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 \]

где \( v_1 \) - скорость тела в начальный момент броска, а \( v_2 \) - скорость тела при возвращении в исходную точку.

Мы можем сократить \(\frac{1}{2}\) и массу \( m \) с обеих сторон уравнения:

\[ v_1^2 = v_2^2 \]

Теперь мы можем взять корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти скорость \( v_2 \):

\[ v_2 = \sqrt{v_1^2} \]

\[ v_2 = v_1 \]

Таким образом, при возвращении тела в исходную точку, его скорость будет равна скорости, с которой оно было брошено вертикально вверх. Ответ: скорость тела будет равна 15 м/с.