1. Докажите, что если каждые две из трех плоскостей пересекаются по различным прямым, и две из этих прямых

Задача 1:
Для того чтобы доказать, что все три прямые пересекаются, давайте рассмотрим все возможные случаи.

Первоначально в условии задачи у нас есть три плоскости, и мы знаем, что каждые две из этих плоскостей пересекаются по различным прямым. Допустим, что две из этих прямых пересекаются, но третья прямая не пересекается ни с одной из первых двух.

Пусть прямые AB и AC пересекаются (где A, B и C - точки пересечения с различными плоскостями), а прямая BD не пересекается ни с одной из этих прямых.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через все три точки A, B и D. Поскольку прямые AB и AC пересекаются в одной точке, а прямая BD не пересекает ни одну из них, то она не лежит в плоскости, проходящей через точки A, B и C.

Это противоречие доказывает, что третья прямая BD должна пересекаться с прямыми AB и AC. Таким образом, мы доказали, что если каждые две из трех плоскостей пересекаются по различным прямым, и две из этих прямых пересекаются, то все три прямые пересекаются.

Задача 2:
Здесь нужно доказать, что существует плоскость, которая пересекает каждую из трех попарно скрещивающихся прямых.

Допустим, у нас есть прямые AB, CD и EF, которые попарно скрещиваются.

Рассмотрим плоскость, проходящую через точку A и перпендикулярную прямым CD и EF. Поскольку прямые CD и EF попарно скрещиваются, они расположены в разных плоскостях. Поэтому плоскость, проходящая через точку A и перпендикулярная им, пересекает каждую из них.

Таким образом, мы доказали, что существует плоскость, которая пересекает каждую из трех попарно скрещивающихся прямых.

Задача 3:
Чтобы найти максимальное количество ребер и граней плоскости, которая пересекает тетраэдр, давайте рассмотрим структуру тетраэдра.

У тетраэдра есть четыре вершины и шесть ребер. Плоскость может пересекать каждое ребро тетраэдра один раз, поэтому максимальное количество ребер, которые она может пересечь, равно шести.

Теперь рассмотрим грани тетраэдра. Грань тетраэдра образуется тремя ребрами. Поскольку плоскость может пересекать каждое ребро только один раз, максимальное количество граней, которые она может пересечь, также равно шести.

Таким образом, максимальное количество ребер и граней плоскости, которая пересекает тетраэдр, составляет шесть.

Задача 4:
Для определения многоугольников, образующихся при рассмотрении диагоналей граней параллелепипеда, которые скрещиваются с выбранной диагональю, нам нужно представить себе параллелепипед и его диагонали.

Параллелепипед имеет шесть граней: верхнюю, нижнюю, переднюю, заднюю, левую и правую. Пусть выбранная диагональ проходит от верхнего левого угла до нижнего правого угла.

Если мы рассмотрим диагонали граней, которые пересекаются с выбранной диагональю, то увидим следующее:

1) Верхняя грань пересекает выбранную диагональ.
2) Нижняя грань пересекает выбранную диагональ.
3) Передняя грань пересекает выбранную диагональ.
4) Задняя грань пересекает выбранную диагональ.
5) Левая грань пересекает выбранную диагональ.
6) Правая грань пересекает выбранную диагональ.

Таким образом, многоугольники, образующиеся при рассмотрении диагоналей граней параллелепипеда, которые скрещиваются с выбранной диагональю, будут состоять из шести сторон (ребер) и шести вершин.