1) Доказать, что векторы SB-SC эквивалентны вектору DA в случае, когда ABCD является прямоугольником, а

1) Для доказательства эквивалентности векторов SB-SC и вектора DA, рассмотрим прямоугольник ABCD.

Пусть точка S - произвольная точка в пространстве. Вектор SB задается координатами точки B (x2, y2, z2) минус координаты точки S (xS, yS, zS). Аналогично, вектор SC задается координатами точки C (x3, y3, z3) минус координаты точки S (xS, yS, zS).

Тогда вектор SB-SC может быть записан как (x2 - xS, y2 - yS, z2 - zS)-(x3 - xS, y3 - yS, z3 - zS), что равно (x2 - xS - x3 + xS, y2 - yS - y3 + yS, z2 - zS - z3 + zS). Упрощая, получаем вектор SB-SC равный (x2 - x3, y2 - y3, z2 - z3).

С другой стороны, вектор DA задается координатами точки A (x1, y1, z1) минус координаты точки D (x4, y4, z4), что дает (x1 - x4, y1 - y4, z1 - z4).

Таким образом, векторы SB-SC и DA имеют одинаковые координаты (x2 - x3, y2 - y3, z2 - z3) и (x1 - x4, y1 - y4, z1 - z4) соответственно. Следовательно, векторы SB-SC и DA эквивалентны при условии, что ABCD является прямоугольником.

2) Чтобы найти все упорядоченные пары вершин ABCDA1B1C1D1 параллелепипеда, которые определяют ненулевые векторы, параллельные вектору AC, нужно рассмотреть все возможные комбинации вершин для формирования векторов, параллельных вектору AC.

Вектор AC задается координатами точки C (xC, yC, zC) минус координаты точки A (xA, yA, zA), то есть (xC - xA, yC - yA, zC - zA).

Возможные комбинации вершин ABCDA1B1C1D1 для формирования ненулевых векторов, параллельных AC, следующие:

- Вектор AB задается координатами точки B (xB, yB, zB) минус координаты точки A (xA, yA, zA). Таким образом, (xB - xA, yB - yA, zB - zA). Вектор AB должен быть коллинеарен вектору AC, поэтому соответствующие координаты должны быть пропорциональны.

- Аналогично для других вершин: задаем векторы BC, CD, DA1, A1B1, B1C1, C1D1 и D1D и проверяем, чтобы они были коллинеарны вектору AC.

3) Вектор, являющийся суммой векторов AB + B1C1 + DD1 + CD, можно получить, сложив соответствующие координаты этих векторов.

Вектор AB задается координатами точки B (xB, yB, zB) минус координаты точки A (xA, yA, zA), то есть (xB - xA, yB - yA, zB - zA).

Вектор B1C1 задается координатами точки C1 (xC1, yC1, zC1) минус координаты точки B1 (xB1, yB1, zB1), то есть (xC1 - xB1, yC1 - yB1, zC1 - zB1).

Вектор DD1 задается координатами точки D1 (xD1, yD1, zD1) минус координаты точки D (xD, yD, zD), то есть (xD1 - xD, yD1 - yD, zD1 - zD).

Вектор CD задается координатами точки D (xD, yD, zD) минус координаты точки C (xC, yC, zC), то есть (xD - xC, yD - yC, zD - zC).

Сложив все соответствующие координаты векторов AB, B1C1, DD1 и CD, получим вектор, который является их суммой.

4) Чтобы выразить вектор BD через векторы b и c, нужно знать пропорции, в которых точка D делит сторону BC треугольника ABC.

По условию, отношение BD к DC равно 1:2. Пусть вектор BD задается координатами точки D (xD, yD, zD) минус координаты точки B (xB, yB, zB), то есть (xD - xB, yD - yB, zD - zB).

Тогда вектор DC задается координатами точки C (xC, yC, zC) минус координаты точки D (xD, yD, zD), то есть (xC - xD, yC - yD, zC - zD).

По отношению BD:DC = 1:2, можем записать соответствующие пропорции для каждой координаты:

\( \frac{{xD - xB}}{{xC - xD}} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{{yD - yB}}{{yC - yD}} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{{zD - zB}}{{zC - zD}} = \frac{1}{2} \)

Решая эти уравнения относительно (xD - xB), (yD - yB) и (zD - zB), получаем выражение вектора BD через векторы b и c.

5) Чтобы разложить вектор BD по векторам BA и BC, нужно определить, как вектор BD связан с этими векторами.

Вектор BA задается координатами точки A (xA, yA, zA) минус координаты точки B (xB, yB, zB), то есть (xA - xB, yA - yB, zA - zB).

Вектор BC задается координатами точки C (xC, yC, zC) минус координаты точки B (xB, yB, zB), то есть (xC - xB, yC - yB, zC - zB).

Тогда вектор BD задается координатами точки D (xD, yD, zD) минус координаты точки B (xB, yB, zB), то есть (xD - xB, yD - yB, zD - zB).

Чтобы разложить вектор BD по векторам BA и BC, мы можем записать вектор BD как сумму векторов BA и BC: (xD - xB, yD - yB, zD - zB) = (xA - xB, yA - yB, zA - zB) + (xC - xB, yC - yB, zC - zB).

Упрощая это уравнение, получаем:

xD = xA + xC - 2xB,
yD = yA + yC - 2yB,
zD = zA + zC - 2zB.

Таким образом, вектор BD разложен по векторам BA и BC.