1. Что произойдет с объемом правильной четырехугольной призмы, если увеличить сторону основания в три раза, а уменьшить

Задача 1. Для начала, обозначим объем исходной призмы как \(V_1\), сторону основания как \(a\), а высоту как \(h\). Затем, по условию, увеличим сторону основания в 3 раза, что дает нам новую сторону \(3a\), и уменьшим высоту в 9 раз, что дает нам новую высоту \(\frac{h}{9}\).

Формула для вычисления объема четырехугольной призмы:

\[V = A \cdot h\]

где \(A\) - площадь основания призмы. Для правильной четырехугольной призмы, площадь основания равна площади квадрата со стороной \(a\):

\[A = a^2\]

Теперь можем выразить объем исходной призмы \(V_1\):

\[V_1 = a^2 \cdot h\]

А также объем новой призмы \(V_2\):

\[V_2 = (3a)^2 \cdot \frac{h}{9}\]

Для сравнения, найдем отношение нового объема к исходному:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{(3a)^2 \cdot \frac{h}{9}}{a^2 \cdot h}\]

Сократим выражение:

\[\frac{V_2}{V_1} = \frac{9a^2 \cdot \frac{h}{9}}{a^2 \cdot h} = \frac{h}{h} = 1\]

Таким образом, объем призмы не изменится и останется таким же при увеличении стороны основания в 3 раза и уменьшении высоты в 9 раз.

Задача 2.

a) Для определения объема контейнера, представленного на рисунке, мы можем вычислить объем сферы и объем цилиндра, а затем сложить их.

Объем сферы:

\[V_{\text{сфера}} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(r\) - радиус сферы. В данной задаче радиус сферы равен 6 см, поэтому:

\[V_{\text{сфера}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3\]

Объем цилиндра:

\[V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус цилиндра, а \(h\) - его высота. Радиус цилиндра также равен 6 см, а высота составляет 20 см, поэтому:

\[V_{\text{цилиндр}} = \pi \cdot 6^2 \cdot 20\]

Теперь можем найти объем контейнера:

\[V_{\text{контейнер}} = V_{\text{сфера}} + V_{\text{цилиндр}}\]

Выполним вычисления и получим значение объема контейнера.

b) Задача заключается в вычислении объема коробки после того, как контейнер помещен в нее.

Объем коробки можно вычислить с помощью формулы:

\[V_{\text{коробка}} = l \cdot w \cdot h\]

где \(l\) - длина коробки, \(w\) - ширина коробки, а \(h\) - высота коробки.

В данной задаче, длина и ширина коробки равны 12 см, а высота составляет 26 см. Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления, чтобы определить объем пустой коробки после помещения контейнера.

c) Здесь нам предлагается найти высоту точной копии данного контейнера, если ее объем равен 108.

Мы можем использовать формулу для объема цилиндра:

\[V_{\text{цилиндр}} = \pi r^2 h\]

Теперь, чтобы найти высоту данного контейнера, мы можем переставить формулу:

\[h = \frac{V_{\text{цилиндр}}}{\pi r^2}\]

Мы знаем, что объем контейнера равен 108, а радиус цилиндра равен 6 см. Подставим эти значения в формулу и выполним вычисления, чтобы получить значение высоты контейнера.