1) Что нужно найти в арифметической прогрессии, если S9 равно 72? 2) Какую сумму составляют первые двенадцать членов

Добро пожаловать! Давайте решим эти задачи по очереди.

1) Для нахождения искомого элемента арифметической прогрессии нам дана информация о сумме первых 9 членов прогрессии, равной 72. Для начала, давайте вспомним формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где \( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( a_n \) - n-й член прогрессии.

В данном случае у нас \( S_9 = 72 \), поэтому применим формулу:

\[ 72 = \frac{9}{2}(a_1 + a_9) \]

Теперь решим это уравнение относительно \( a_1 + a_9 \):

\[ a_1 + a_9 = \frac{72 \cdot 2}{9} = 16 \]

Таким образом, сумма первого и девятого членов прогрессии равна 16.

2) В этой задаче нам известно значение разности прогрессии (d = 5) и значение 12-го члена прогрессии (a_12 = 300). Мы должны найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]

где \( S_n \) - сумма первых n членов прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( a_n \) - n-й член прогрессии.

Мы знаем, что \( a_{12} = 300 \), поэтому \( a_1 + 11d = 300 \).

Также нам известна разность d = 5.

Теперь мы можем записать уравнение для определения первого члена прогрессии \( a_1 \):

\[ a_1 + 11 \cdot 5 = 300 \]

\[ a_1 + 55 = 300 \]

\[ a_1 = 300 - 55 = 245 \]

Теперь, когда у нас есть \( a_1 \) и \( a_{12} \), мы можем найти сумму первых двенадцати членов прогрессии, подставив эти значения в формулу:

\[ S_{12} = \frac{12}{2}(a_1 + a_{12}) = 6(245 + 300) = 6 \cdot 545 = 3270 \]

Таким образом, сумма первых двенадцати членов арифметической прогрессии равна 3270.

3) Нам дано, что сумма третьего, четвертого и пятого членов прогрессии равна \( a_3 + a_4 + a_5 \).

Поскольку арифметическая прогрессия имеет постоянную разность между ее членами, мы можем записать общую формулу для n-го члена прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

где \( a_1 \) - первый член прогрессии, \( d \) - разность прогрессии.

В данном случае, нам дано, что \( a_3 + a_4 + a_5 \) имеет определенное значение. Чтобы найти \( a_4 \), нам нужно знать значения \( a_3 \) и \( a_5 \). Эту информацию нам не предоставлено, поэтому мы не можем точно определить значение \( a_4 \) в арифметической прогрессии.

Если у вас есть дополнительные данные или уточнения, я с радостью помогу вам дальше!