1) Чему равны третья сторона и другие углы треугольника, если две его стороны равны 7 см и корень из 75 см, а угол

Конечно, давайте решим данные задачи по очереди.

1) Чтобы найти третью сторону треугольника и другие углы, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Для этого нам необходимо знать две стороны треугольника и угол между ними. Пусть сторона треугольника, равная 7 см, будет стороной a, сторона, равная \(\sqrt{75}\) см, - стороной b, а угол противолежащий стороне b - это угол C.

Теорема косинусов имеет вид:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Подставим известные значения в формулу и решим ее:

\[c^2 = 7^2 + (\sqrt{75})^2 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{75} \cdot \cos(60^\circ)\]

\[c^2 = 49 + 75 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{75} \cdot \frac{1}{2}\]

\[c^2 = 124 - 7 \cdot \sqrt{75}\]

Чтобы узнать значение третьей стороны \(c\), мы можем извлечь квадратный корень из обеих сторон:

\[c = \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\) см.

Теперь давайте найдем оставшиеся углы треугольника. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Поэтому, чтобы найти углы, нам нужно сначала вычислить третий угол треугольника, обозначим его как угол A, а косинус этого угла обозначим как \(\cos(A)\).

Теорема косинусов имеет вид:
\[\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

Подставим известные значения и решим уравнение:
\[\cos(A) = \frac{(\sqrt{75})^2 + (\sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}})^2 - 7^2}{2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}}\]

\[\cos(A) = \frac{75 + (124 - 7 \cdot \sqrt{75}) - 49}{2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}}\]

\[\cos(A) = \frac{150 - 7 \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}}\]

Теперь мы можем найти угол A, найдя обратный косинус от \(\cos(A)\).

\[A = \cos^{-1} \left(\frac{150 - 7 \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot \sqrt{75} \cdot \sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}}\right)\]

Подставив значения в калькулятор, мы найдем угол A.

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(\sqrt{124 - 7 \cdot \sqrt{75}}\) см, а углы A и C могут быть найдены с помощью \(\cos^{-1}\) исходя из соответствующих косинусов.

2) В данной задаче мы имеем треугольник с двумя равными сторонами 7 и 12 см, а угол между ними равен 60 градусам. Мы можем использовать закон синусов для нахождения третьей стороны треугольника. Пусть сторона треугольника, равная 7 см, будет стороной a, сторона, равная 12 см, - стороной b, а угол между ними - это угол A.

Закон синусов имеет вид:
\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Зная, что две стороны равны, мы можем записать уравнение как:
\[\frac{7}{\sin(A)} = \frac{7}{\sin(60^\circ)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

Теперь мы можем найти третью сторону треугольника, если найдем значение синуса угла C.

\[\sin(C) = \frac{c}{\frac{7}{\sin(60^\circ)}}\]

\[c = \sin(C) \cdot \frac{7}{\sin(60^\circ)}\]

Используя калькулятор, мы можем вычислить значение третьей стороны.

Таким образом, третья сторона треугольника равна \(c\) см.

3) Для решения данной задачи мы можем использовать теорему косинусов. У нас есть треугольник со сторонами 5 см, 13 см и \(\sqrt{127}\) см. Обозначим стороны треугольника как a, b и c соответственно. Мы хотим найти угол, противолежащий средней стороне.

Из теоремы косинусов:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Подставим известные значения:
\[(\sqrt{127})^2 = 5^2 + 13^2 - 2 \cdot 5 \cdot 13 \cdot \cos(C)\]
\[127 = 25 + 169 - 130 \cos(C)\]
\[130 \cos(C) = 194 - 127\]
\[130 \cos(C) = 67\]
\[\cos(C) = \frac{67}{130}\]

Теперь мы можем найти угол C, найдя обратный косинус от \(\cos(C)\).

\[C = \cos^{-1}\left(\frac{67}{130}\right)\]

Используя калькулятор, мы можем вычислить значение угла C.

Таким образом, угол, противолежащий средней стороне треугольника, равен \(C\) градусов.