1) Чему равен log a (a^4/b^3), если log b (a) = 1/6? 2) Чему равен log b (a^6*b^99), если log a √b = 0,6? 3) Чему равен

Конечно, я помогу с решением данных задач о логарифмах.

1) Для начала нам дано, что \(\log_b{a} = \frac{1}{6}\). Мы можем использовать свойство логарифмов \(\log_b{(x^y)} = y \cdot \log_b{x}\), чтобы переписать заданное выражение:
\[\log_a{\left(\frac{a^4}{b^3}\right)} = 4 \cdot \log_a{a} - 3 \cdot \log_a{b}.\]

Так как \(\log_a{a} = 1\), то первое слагаемое равно 4. А второе слагаемое можно выразить с использованием заданного значения \(\log_b{a} = \frac{1}{6}\):
\[\log_a{\left(\frac{a^4}{b^3}\right)} = 4 - 3 \cdot \log_a{b} = 4 - 3 \cdot \frac{1}{6}.\]

Подсчитав это выражение, получим:
\[\log_a{\left(\frac{a^4}{b^3}\right)} = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}.\]

Таким образом, \(\log_a{\left(\frac{a^4}{b^3}\right)}\) равно \(\frac{7}{2}\).

2) Опять же, воспользуемся свойством \(\log_b{(x^y)} = y \cdot \log_b{x}\), чтобы преобразовать выражение:
\[\log_b{(a^6 \cdot b^{99})} = 6 \cdot \log_b{a} + 99 \cdot \log_b{b}.\]

Так как \(\log_b{b} = 1\) и \(\log_b{a} = \frac{1}{\sqrt{b}} = 0,6\) (согласно заданию), можно подставить значения:
\[\log_b{(a^6 \cdot b^{99})} = 6 \cdot 0,6 + 99 \cdot 1 = 3,6 + 99 = 102,6.\]

Таким образом, \(\log_b{(a^6 \cdot b^{99})}\) равно 102,6.

3) Дано, что \(\log_b{\sqrt{a}} = 0,1\). Мы знаем, что \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\), поэтому можем преобразовать выражение следующим образом:
\[\log_a{(a^4 \cdot b^{32})} = 4 \cdot \log_a{a} + 32 \cdot \log_a{b}.\]

Снова используем известные значения, чтобы подставить их:
\[\log_a{(a^4 \cdot b^{32})} = 4 \cdot 1 + 32 \cdot 0,1 = 4 + 3,2 = 7,2.\]

Таким образом, \(\log_a{(a^4 \cdot b^{32})}\) равно 7,2.

4) В данной задаче обратим внимание на выражение \((4-\sqrt[4]{a}) \cdot (5-\sqrt[5]{b})\) и \(\log_b{(\sqrt[6]{a})}\).

Мы можем заменить корень четвертой степени на \(\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}\) и взять логарифм от этого:
\[\log_b{\sqrt[4]{a}} = \log_b{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4} \cdot \log_b{a}.\]

Подставим значение \(\log_b{a} = \frac{1}{6}\):
\[\log_b{\sqrt[4]{a}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24}.\]

Теперь вернемся к исходному выражению и учтем это значение:
\[\log_b{\left((4-\sqrt[4]{a}) \cdot (5-\sqrt[5]{b})\right)} = \log_b{(4-\sqrt[4]{a})} + \log_b{(5-\sqrt[5]{b})}.\]

Используем результат, полученный выше, и заменим первый логарифм:
\[\log_b{(4-\sqrt[4]{a})} = \log_b{4} - \log_b{\sqrt[4]{a}} = \log_b{4} - \frac{1}{24}.\]

Таким образом, данное выражение становится:
\[\log_b{\left((4-\sqrt[4]{a}) \cdot (5-\sqrt[5]{b})\right)} = \left(\log_b{4} - \frac{1}{24}\right) + \log_b{(5-\sqrt[5]{b})}.\]

Теперь нужно знать значение \(\log_b{(6-\sqrt[6]{a})}\), чтобы внести его второе слагаемое. Однако данного значения в задаче не предоставлено, поэтому мы не можем точно рассчитать ответ на этот вопрос без этой информации.

Надеюсь, эта информация помогла вам разобраться в задачах о логарифмах! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.