1. а) Напишите уравнения движения пассажира и поезда в момент, когда пассажиру оставалось пройти до двери вагона

1. а) Перед тем как решить задачу, давайте определим используемые обозначения. Пусть \(x\) - расстояние до двери вагона, \(a\) - ускорение поезда, \(t\) - время движения пассажира и поезда. Теперь, используя уравнение движения \(x = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2\), где \(v_0\) - начальная скорость, и зная, что \(v_0 = 0\) (поезд из состояния покоя), получим уравнение для движения пассажира: 12 = \(\frac{1}{2} \times 0,5 \times t^2\). Упростив это уравнение, получаем \(t^2 = \frac{24}{0,5}\), или \(t^2 = 48\). Решим это уравнение для \(t\):
\[t = \sqrt{48} \approx 6.93 \, \text{секунды}\].

Уравнение движения поезда: \(x = \frac{1}{2} a t^2\), подставим известные значения и рассчитаем \(x\):
\[x = \frac{1}{2} \times 0,5 \times 6,93^2 \approx 16,97 \, \text{метров}\].

б) Теперь мы можем найти минимальное время, которое пассажиру понадобится, чтобы догнать вагон. Минимальное время будет равно \(t\), так как пассажир и поезд стартовали одновременно:
\[t = 6.93 \, \text{секунды}\].

в) Чтобы определить скорость вагона относительно скорости пассажира в момент времени, когда пассажир достиг двери, мы можем использовать формулу скорости:
\[v = v_0 + at\].

Поскольку \(v_0 = 0\) (поезд из состояния покоя), можно найти лишь значение \(v\):
\[v = 0 + 0,5 \times 6,93 \approx 3,46 \, \text{метра в секунду}\].

2. а) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу времени полета для горизонтального броска с постоянной скоростью: \(t = \frac{2d}{v}\), где \(d\) - горизонтальное расстояние, \(v\) - начальная горизонтальная скорость. В нашем случае, \(d\) равно времени полета умноженного на горизонтальную скорость мяча, \(d = t \times v = 2,82 \times 30\).
\[t = \frac{2 \times 2,82 \times 30}{30} = 2,82 \, \text{секунды}\].

б) Чтобы найти высоту, на которой находится балкон, мы можем использовать формулу для вертикального движения: \(H = v_0t + \frac{1}{2}gt^2\), где \(v_0\) - начальная вертикальная скорость, \(g\) - ускорение свободного падения. В нашем случае, \(v_0 = 0\) (мяч бросается вертикально вверх) и \(g \approx 9,8 \, \text{метра в секунду в квадрате}\) (ускорение свободного падения на Земле). Подставим известные значения и рассчитаем \(H\):
\[H = 0 \times 2,82 + \frac{1}{2} \times 9,8 \times (2,82)^2 \approx 39,25 \, \text{метров}\].

в) Для момента наивысшего полета вертикальная скорость будет равна нулю, так как мяч в этот момент движется только по горизонтали. Следовательно, скорость мяча относительно скорости падения будет равна скорости падения:
\[v_{\text{мяча}} = 9,8 \, \text{метра в секунду в квадрате}\].