1. а) Напишите уравнения движения пассажира и поезда в момент, когда пассажиру оставалось пройти до двери вагона

1. а) Перед тем как решить задачу, давайте определим используемые обозначения. Пусть $x$ - расстояние до двери вагона, $a$ - ускорение поезда, $t$ - время движения пассажира и поезда. Теперь, используя уравнение движения $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$, где $v_0$ - начальная скорость, и зная, что $v_0=0$ (поезд из состояния покоя), получим уравнение для движения пассажира: 12 = $\frac{1}{2}\times 0,5\times t^2$. Упростив это уравнение, получаем $t^2=\frac{24}{0,5}$, или $t^2=48$. Решим это уравнение для $t$:
$$t=\sqrt{48}\approx 6.93\text{секунды}$$.

Уравнение движения поезда: $x=\frac{1}{2}a{t}^2$, подставим известные значения и рассчитаем $x$:
$$x=\frac{1}{2}\times 0,5\times 6,{93}^2\approx 16,97\text{метров}$$.

б) Теперь мы можем найти минимальное время, которое пассажиру понадобится, чтобы догнать вагон. Минимальное время будет равно $t$, так как пассажир и поезд стартовали одновременно:
$$t=6.93\text{секунды}$$.

в) Чтобы определить скорость вагона относительно скорости пассажира в момент времени, когда пассажир достиг двери, мы можем использовать формулу скорости:
$$v=v_0+at$$.

Поскольку $v_0=0$ (поезд из состояния покоя), можно найти лишь значение $v$:
$$v=0+0,5\times 6,93\approx 3,46\text{метра в секунду}$$.

2. а) Для решения этой задачи мы можем использовать формулу времени полета для горизонтального броска с постоянной скоростью: $t=\frac{2d}{v}$, где $d$ - горизонтальное расстояние, $v$ - начальная горизонтальная скорость. В нашем случае, $d$ равно времени полета умноженного на горизонтальную скорость мяча, $d=t\times v=2,82\times 30$.
$$t=\frac{2\times 2,82\times 30}{30}=2,82\text{секунды}$$.

б) Чтобы найти высоту, на которой находится балкон, мы можем использовать формулу для вертикального движения: $H=v_{0}t+\frac{1}{2}g{t}^2$, где $v_0$ - начальная вертикальная скорость, $g$ - ускорение свободного падения. В нашем случае, $v_0=0$ (мяч бросается вертикально вверх) и $g\approx 9,8\text{метра в секунду в квадрате}$ (ускорение свободного падения на Земле). Подставим известные значения и рассчитаем $H$:
$$H=0\times 2,82+\frac{1}{2}\times 9,8\times (2,82{)}^2\approx 39,25\text{метров}$$.

в) Для момента наивысшего полета вертикальная скорость будет равна нулю, так как мяч в этот момент движется только по горизонтали. Следовательно, скорость мяча относительно скорости падения будет равна скорости падения:
$$v_{\text{мяча}}=9,8\text{метра в секунду в квадрате}$$.