Знайдіть площу прямокутника, якщо сума двох його не-паралельних сторін складає 14 сантиметрів, а діагональ має таку

Чтобы найти площадь прямоугольника, нам понадобится знать его стороны. Дано, что сумма двух не-параллельных сторон равна 14 сантиметрам. Обозначим эти две стороны буквами a и b. Зная, что диагональ имеет такую же длину, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин других сторон прямоугольника.

Когда прямоугольник разбивается на два прямоугольных треугольника, гипотенуза (диагональ) является общей стороной для обоих треугольников. Поэтому сумма площадей этих двух треугольников будет равна площади прямоугольника.

Теперь давайте приступим к решению задачи. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c, выполняется следующее соотношение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как гипотенуза имеет такую же длину, как и сумма двух не-параллельных сторон, мы можем записать это как:

\[c^2 = (a + b)^2\]

Раскрыв скобки, получим:

\[c^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Теперь у нас есть два уравнения: с одной стороны, сумма двух не-параллельных сторон равна 14, и с другой стороны, сумма квадратов этих сторон равна \(c^2\). Давайте запишем их в виде системы уравнений:

\[\begin{cases} a + b = 14 \\ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения переменных. Но так как задача не требует найти конкретные значения сторон прямоугольника, а только его площадь, мы воспользуемся другим способом решения.

Воспользуемся следующим свойством: при фиксированной сумме двух чисел, их произведение максимально, когда эти числа равны друг другу. То есть, чтобы площадь прямоугольника была максимальной, его стороны должны быть равны.

Исходя из этого, мы можем предположить, что a = b = 7, так как только такое значение удовлетворяет обоим уравнениям:

\[\begin{cases} a + b = 14 \\ a = b \end{cases}\]

Теперь мы можем найти площадь прямоугольника, используя формулу:

\[Площадь = a \cdot b = 7 \cdot 7 = 49\]

Таким образом, площадь прямоугольника равна 49 квадратных сантиметров.