Записать указанные данные и решение в тетради! 5. Путем рассмотрения движения Луны вокруг Земли, определите отношение массы Солнца к массе Земли. 6. При помощи сравнения с системой Земля-Луна, вычислить массу Сатурна в массах Земли, учитывая, что один из его спутников находится на расстоянии 185500 км от центра планеты и имеет период обращения 0.94 суток.
Skvorec
5. Для определения отношения массы Солнца к массе Земли мы можем использовать законы Кеплера о движении планет. Закон третий Кеплера говорит о том, что квадрат периода обращения планеты пропорционален кубу большой полуоси ее орбиты. Таким образом, для Земли и Луны справедливо:
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
Где \(T_{\text{Земли}}\) и \(T_{\text{Луны}}\) - периоды обращения Земли и Луны соответственно, \(r_{\text{Земли}}\) и \(r_{\text{Луны}}\) - расстояния от центра Земли и Луны до центра масс Солнечной системы.
Ввиду того, что Луна движется вокруг Земли, \(r_{\text{Луны}}\) будет равно расстоянию между центром Земли и Луной, а \(r_{\text{Земли}}\) будет равно расстоянию между центром Земли и центром Солнечной системы, то есть расстоянию от Земли до Солнца.
Таким образом, у нас получается:
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
\[T_{\text{Земли}}^2 = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3 \cdot T_{\text{Луны}}^2\]
Подставляем известные значения (период обращения Луны составляет примерно 27.3 суток, а расстояние от Земли до Луны составляет примерно 384,400 км):
\[T_{\text{Земли}}^2 = \left(\frac{149,600,000 \, \text{км}}{384,400 \, \text{км}}\right)^3 \cdot (27.3 \, \text{суток})^2\]
\[T_{\text{Земли}}^2 \approx 398,600^3 \cdot (27.3)^2 \, \text{суток}^2\]
\[T_{\text{Земли}}^2 \approx 158,895,961,122,000 \, \text{суток}^2\]
\[T_{\text{Земли}} \approx \sqrt{158,895,961,122,000} \, \text{суток}\]
\[T_{\text{Земли}} \approx 398,619,939 \, \text{суток}\]
Теперь, чтобы найти массу Солнца \(M_{\text{Солнца}}\) в отношении массы Земли \(M_{\text{Земли}}\), мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:
\[g = \frac{G \cdot M_{\text{Солнца}}}{R^2_{\text{Земли}}}\]
Где \(g\) - ускорение свободного падения на Земле, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{\text{Солнца}}\) - масса Солнца, \(R_{\text{Земли}}\) - радиус Земли.
Так как \(g\) и \(G\) известны, мы можем решить это уравнение относительно \(M_{\text{Солнца}}\):
\[M_{\text{Солнца}} = \frac{g \cdot R^2_{\text{Земли}}}{G}\]
Подставляем известные значения (ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), радиус Земли \(R_{\text{Земли}} \approx 6,371 \, \text{км}\), гравитационная постоянная \(G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)\)):
\[M_{\text{Солнца}} = \frac{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (6,371,000 \, \text{м})^2}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)}\]
\[M_{\text{Солнца}} \approx 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\]
Таким образом, отношение массы Солнца \(M_{\text{Солнца}}\) к массе Земли \(M_{\text{Земли}}\) составляет примерно:
\[\frac{M_{\text{Солнца}}}{M_{\text{Земли}}} \approx \frac{1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}}{5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}} \approx 3.33 \times 10^5\]
Ответ: Отношение массы Солнца к массе Земли приближенно равно \(3.33 \times 10^5\).
6. Для вычисления массы Сатурна в массах Земли мы можем использовать аналогичный подход к задаче №5. Используя закон Кеплера, мы можем сравнить период обращения спутника Сатурна с периодом обращения Луны и расстояние этого спутника от центра Сатурна с расстоянием от Земли до центра Солнечной системы. Задача гласит, что период обращения спутника Сатурна составляет 0.94 суток, а расстояние этого спутника от центра планеты составляет 185500 км.
Мы можем использовать тот же закон Кеплера:
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Сатурн}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Сатурн}}}\right)^3\]
Подставляем известные значения (период обращения Луны составляет примерно 27.3 суток, а расстояние от Земли до Луны составляет примерно 384,400 км):
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{(0.94 \, \text{суток})^2} = \left(\frac{149,600,000 \, \text{км}}{r_{\text{Сатурн}}}\right)^3\]
Решаем это уравнение относительно \(r_{\text{Сатурн}}\):
\[r_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{(0.94 \, \text{суток})^2 \cdot 149,600,000 \, \text{км}}{T_{\text{Земли}}^2}}\]
Подставляем известные значения (период обращения Земли составляет примерно 398,619,939 суток):
\[r_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{(0.94 \, \text{суток})^2 \cdot 149,600,000 \, \text{км}}{(398,619,939 \, \text{суток})^2}}\]
\[r_{\text{Сатурн}} \approx \sqrt[3]{\frac{(0.94)^2 \cdot 149,600,000}{398,619,939^2}} \, \text{км}\]
Теперь, чтобы найти массу Сатурна \(M_{\text{Сатурн}}\) в массах Земли \(M_{\text{Земли}}\), мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:
\[g = \frac{G \cdot M_{\text{Сатурн}}}{R^2_{\text{Земли}}}\]
Решаем это уравнение относительно \(M_{\text{Сатурн}}\):
\[M_{\text{Сатурн}} = \frac{g \cdot R^2_{\text{Земли}}}{G}\]
Подставляем известные значения (ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), радиус Земли \(R_{\text{Земли}} \approx 6,371 \, \text{км}\), гравитационная постоянная \(G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)\)):
\[M_{\text{Сатурн}} = \frac{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (6,371,000 \, \text{м})^2}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)}\]
\[M_{\text{Сатурн}} \approx 568 \times 10^{24} \, \text{кг}\]
Таким образом, масса Сатурна в массах Земли составляет примерно \(568 \times 10^{24}\).
Ответ: Масса Сатурна в массах Земли приближенно равна \(568 \times 10^{24}\).
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
Где \(T_{\text{Земли}}\) и \(T_{\text{Луны}}\) - периоды обращения Земли и Луны соответственно, \(r_{\text{Земли}}\) и \(r_{\text{Луны}}\) - расстояния от центра Земли и Луны до центра масс Солнечной системы.
Ввиду того, что Луна движется вокруг Земли, \(r_{\text{Луны}}\) будет равно расстоянию между центром Земли и Луной, а \(r_{\text{Земли}}\) будет равно расстоянию между центром Земли и центром Солнечной системы, то есть расстоянию от Земли до Солнца.
Таким образом, у нас получается:
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Луны}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3\]
\[T_{\text{Земли}}^2 = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Луны}}}\right)^3 \cdot T_{\text{Луны}}^2\]
Подставляем известные значения (период обращения Луны составляет примерно 27.3 суток, а расстояние от Земли до Луны составляет примерно 384,400 км):
\[T_{\text{Земли}}^2 = \left(\frac{149,600,000 \, \text{км}}{384,400 \, \text{км}}\right)^3 \cdot (27.3 \, \text{суток})^2\]
\[T_{\text{Земли}}^2 \approx 398,600^3 \cdot (27.3)^2 \, \text{суток}^2\]
\[T_{\text{Земли}}^2 \approx 158,895,961,122,000 \, \text{суток}^2\]
\[T_{\text{Земли}} \approx \sqrt{158,895,961,122,000} \, \text{суток}\]
\[T_{\text{Земли}} \approx 398,619,939 \, \text{суток}\]
Теперь, чтобы найти массу Солнца \(M_{\text{Солнца}}\) в отношении массы Земли \(M_{\text{Земли}}\), мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:
\[g = \frac{G \cdot M_{\text{Солнца}}}{R^2_{\text{Земли}}}\]
Где \(g\) - ускорение свободного падения на Земле, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{\text{Солнца}}\) - масса Солнца, \(R_{\text{Земли}}\) - радиус Земли.
Так как \(g\) и \(G\) известны, мы можем решить это уравнение относительно \(M_{\text{Солнца}}\):
\[M_{\text{Солнца}} = \frac{g \cdot R^2_{\text{Земли}}}{G}\]
Подставляем известные значения (ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), радиус Земли \(R_{\text{Земли}} \approx 6,371 \, \text{км}\), гравитационная постоянная \(G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)\)):
\[M_{\text{Солнца}} = \frac{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (6,371,000 \, \text{м})^2}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)}\]
\[M_{\text{Солнца}} \approx 1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}\]
Таким образом, отношение массы Солнца \(M_{\text{Солнца}}\) к массе Земли \(M_{\text{Земли}}\) составляет примерно:
\[\frac{M_{\text{Солнца}}}{M_{\text{Земли}}} \approx \frac{1.989 \times 10^{30} \, \text{кг}}{5.972 \times 10^{24} \, \text{кг}} \approx 3.33 \times 10^5\]
Ответ: Отношение массы Солнца к массе Земли приближенно равно \(3.33 \times 10^5\).
6. Для вычисления массы Сатурна в массах Земли мы можем использовать аналогичный подход к задаче №5. Используя закон Кеплера, мы можем сравнить период обращения спутника Сатурна с периодом обращения Луны и расстояние этого спутника от центра Сатурна с расстоянием от Земли до центра Солнечной системы. Задача гласит, что период обращения спутника Сатурна составляет 0.94 суток, а расстояние этого спутника от центра планеты составляет 185500 км.
Мы можем использовать тот же закон Кеплера:
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{T_{\text{Сатурн}}^2} = \left(\frac{r_{\text{Земли}}}{r_{\text{Сатурн}}}\right)^3\]
Подставляем известные значения (период обращения Луны составляет примерно 27.3 суток, а расстояние от Земли до Луны составляет примерно 384,400 км):
\[\frac{T_{\text{Земли}}^2}{(0.94 \, \text{суток})^2} = \left(\frac{149,600,000 \, \text{км}}{r_{\text{Сатурн}}}\right)^3\]
Решаем это уравнение относительно \(r_{\text{Сатурн}}\):
\[r_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{(0.94 \, \text{суток})^2 \cdot 149,600,000 \, \text{км}}{T_{\text{Земли}}^2}}\]
Подставляем известные значения (период обращения Земли составляет примерно 398,619,939 суток):
\[r_{\text{Сатурн}} = \sqrt[3]{\frac{(0.94 \, \text{суток})^2 \cdot 149,600,000 \, \text{км}}{(398,619,939 \, \text{суток})^2}}\]
\[r_{\text{Сатурн}} \approx \sqrt[3]{\frac{(0.94)^2 \cdot 149,600,000}{398,619,939^2}} \, \text{км}\]
Теперь, чтобы найти массу Сатурна \(M_{\text{Сатурн}}\) в массах Земли \(M_{\text{Земли}}\), мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:
\[g = \frac{G \cdot M_{\text{Сатурн}}}{R^2_{\text{Земли}}}\]
Решаем это уравнение относительно \(M_{\text{Сатурн}}\):
\[M_{\text{Сатурн}} = \frac{g \cdot R^2_{\text{Земли}}}{G}\]
Подставляем известные значения (ускорение свободного падения \(g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2\), радиус Земли \(R_{\text{Земли}} \approx 6,371 \, \text{км}\), гравитационная постоянная \(G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)\)):
\[M_{\text{Сатурн}} = \frac{(9.8 \, \text{м/с}^2) \cdot (6,371,000 \, \text{м})^2}{6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\text{кг} \, \text{с}^2)}\]
\[M_{\text{Сатурн}} \approx 568 \times 10^{24} \, \text{кг}\]
Таким образом, масса Сатурна в массах Земли составляет примерно \(568 \times 10^{24}\).
Ответ: Масса Сатурна в массах Земли приближенно равна \(568 \times 10^{24}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
