Закусочная на автозаправке имеет только один прилавок. Автомобили прибывают в соответствии с пуассоновским

Для решения этой задачи, мы будем использовать пуассоновское распределение, так как количество автомобилей, прибывающих на заправку, подчиняется этому распределению.

Пусть X - количество автомобилей, прибывающих на заправку за 15 минут (четверть часа). Мы знаем, что среднее количество автомобилей за 5 минут составляет 2. За 15 минут это будет в 3 раза больше, то есть \(X \sim \text{Poisson}(6)\).

Теперь давайте рассмотрим каждое событие по отдельности:

а) Найдем вероятность прибытия 11 автомобилей за 15 минут. Для этого нам понадобится использовать функцию вероятности пуассоновского распределения. Формула этой функции имеет вид:

\[P(X = k) = \frac{{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}}{{k!}}\]

где \(\lambda\) - среднее количество событий за заданный период времени (в данном случае 6), а k - количество событий (в данном случае 11).

Теперь подставим значения в формулу и посчитаем:

\[P(X = 11) = \frac{{e^{-6} \cdot 6^{11}}}{{11!}}\]

б) Найдем вероятность появления хотя бы одного автомобиля за 15 минут. Для этого мы можем найти вероятность противоположного события - отсутствие автомобилей. То есть, мы ищем \(1 - P(X = 0)\), где P(X = 0) - вероятность отсутствия автомобилей. Вычислим это:

\[P(X = 0) = \frac{{e^{-6} \cdot 6^0}}{{0!}} = e^{-6}\]

Теперь найдем вероятность появления хотя бы одного автомобиля:

\[P(\text{появление хотя бы одного автомобиля}) = 1 - P(X = 0) = 1 - e^{-6}\]

в) Найдем вероятность отсутствия автомобилей. Мы уже вычислили это значение в предыдущем пункте:

\[P(\text{отсутствие автомобилей}) = P(X = 0) = e^{-6}\]

Ответы:

а) Вероятность прибытия 11 автомобилей за четверть часа равна \(\frac{{e^{-6} \cdot 6^{11}}}{{11!}}\) (подставьте значения, чтобы получить точное значение).

б) Вероятность появления хотя бы одного автомобиля за четверть часа равна \(1 - e^{-6}\).

в) Вероятность отсутствия автомобилей за четверть часа равна \(e^{-6}\).