Задача 1: Представьте векторы AB − 3BC + 4CD в виде линейной комбинации других векторов. Задача 2: Найдите длины

Хорошо, давайте решим все эти задачи шаг за шагом:

Задача 1:
Нам нужно представить векторы AB - 3BC + 4CD в виде линейной комбинации других векторов. Для этого мы можем использовать общую формулу линейной комбинации:
\( \vec{v} = a\vec{u} + b\vec{w} + c\vec{x} \),
где \( \vec{v} \) - исходный вектор, \( \vec{u} \), \( \vec{w} \), \( \vec{x} \) - другие векторы, а a, b, c - коэффициенты, которые мы должны найти.

Применяя эту формулу к нашему вектору, получим:
\( AB - 3BC + 4CD = a(\vec{u}) + b(\vec{w}) + c(\vec{x}) \).

Задача 2:
Нам нужно найти длину каждого из указанных векторов: AB, BC и CD. Для нахождения длины вектора используется формула:
\( |\vec{v}| = \sqrt{{x^2 + y^2 + z^2}} \),
где \( \vec{v} = (x, y, z) \).

Применяя эту формулу, мы можем найти длины векторов AB, BC и CD.

Задача 3:
Нам нужно найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD. Для нахождения косинуса угла между векторами используется формула:
\( \cos{\theta} = \frac{{\vec{u} \cdot \vec{v}}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}} \),
где \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) - два вектора.

Применяя эту формулу, мы можем найти косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD.

Задача 4:
Нам нужно найти значение выражения (AB + CD) * AD. Для этого мы должны выполнить скалярное произведение векторов (AB + CD) и AD. Формула для скалярного произведения двух векторов:
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \),
где \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z) \) и \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \).

Применяя эту формулу, мы можем найти значение выражения (AB + CD) * AD.

Задача 5:
Нам нужно найти проекцию вектора BD на вектор AC. Для этого мы должны использовать формулу:
\( \text{{proj}}_{\vec{u}}{\vec{v}} = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{u}}}{{|\vec{u}|^2}} \cdot \vec{u} \),
где \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) - два вектора.

Применяя эту формулу, мы можем найти проекцию вектора BD на вектор AC.

Задача 6:
Нам нужно определить, являются ли векторы AB и CD коллинеарными. Для этого мы должны проверить, равны ли эти векторы или один из них является скалярным произведением другого вектора и некоторого числа.

Задача 7:
Нам нужно определить, являются ли векторы AB и CD ортогональными. Для этого мы должны проверить, равно ли скалярное произведение этих векторов нулю.

Учитывая исходные данные, давайте начнем решать задачи по порядку. Если у вас есть какие-либо вопросы или необходимо дополнительное пояснение, пожалуйста, скажите мне.