Задача 1: Определите расстояние от Земли до планеты Венеры, учитывая, что горизонтальный параллакс составляет 31,77

Задача 1: Для определения расстояния от Земли до планеты Венеры по горизонтальному параллаксу, мы можем использовать геометрическую формулу:

\[ D = \frac{1}{\tan(p)} \]

где \(D\) - расстояние до планеты, \(p\) - горизонтальный параллакс.

Подставляем известные значения и рассчитываем:

\[ D = \frac{1}{\tan(31.77"")} \]

Используя калькулятор или функцию тангенса научного калькулятора, мы получаем:

\[ D \approx 0.586 \]

Таким образом, расстояние от Земли до планеты Венеры составляет примерно 0.586 астрономических единиц (А.Е.).

Задача 2: Чтобы найти большую полуось орбиты планеты Уран, мы можем использовать формулу Третьего закона Кеплера:

\[ T^{2} = k \cdot a^{3} \]

где \(T\) - звездный период обращения планеты вокруг Солнца, \(a\) - большая полуось орбиты, \(k\) - гравитационная постоянная.

Мы знаем, что период обращения планеты Уран составляет 84 года. Подставляем известные значения и рассчитываем:

\[ 84^{2} = k \cdot a^{3} \]

\[ a^{3} = \frac{84^{2}}{k} \]

Находим кубический корень и получаем:

\[ a \approx 19.18 \]

Таким образом, большая полуось орбиты планеты Уран составляет примерно 19.18 астрономических единиц (А.Е.).

Задача 3: Для определения линейного радиуса Юпитера, учитывая угловой радиус и его угловой диаметр, мы можем использовать следующую формулу:

\[ R_L = \frac{d_L \times d_Z}{2 \times d_A} \]

где \(R_L\) - линейный радиус, \(d_L\) - угловой диаметр Юпитера, \(d_Z\) - расстояние от Земли до Солнца, \(d_A\) - угловой радиус Земли.

Мы знаем, что угловой диаметр Юпитера составляет 2.1 доли секунды, а угловой радиус Земли - 23.4 доли секунды. Расстояние от Земли до Солнца принимается равным 1 астрономической единице (А.Е.), что составляет примерно 149.6 миллионов километров.

Подставляем известные значения и рассчитываем:

\[ R_L = \frac{2.1 \times 149.6 \times 10^6}{2 \times 23.4} \]

\[ R_L \approx 682,051 \]

Таким образом, линейный радиус Юпитера составляет примерно 682,051 километра.

Задача 4: Для вычисления массы Плутона, используя данные о спутнике Хароне, мы можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона:

\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^{2}} \]

где \(F\) - сила гравитационного притяжения между Плутоном и Хароном, \(G\) - гравитационная постоянная, \(m_1\) и \(m_2\) - массы Плутона и Харона соответственно, \(r\) - расстояние между ними.

Мы знаем, что расстояние между Плутоном и Хароном составляет 19600 километров, а период обращения Харона вокруг Плутона равен 6.4 суток.

Чтобы найти массу Плутона, можно использовать законы Кеплера:

\[ T^2 = k \cdot r^3 \]

где \(T\) - звездный период обращения, \(k\) - гравитационная постоянная.

Подставляем известные значения и рассчитываем:

\[ 6.4^2 = k \cdot (19600 \times 10^3)^3 \]

\[ k = \frac{6.4^2}{(19600 \times 10^3)^3} \]

Зная \(k\), можно рассчитать массу Плутона:

\[ F = \frac{G \cdot m_1 \cdot m_2}{r^{2}} \]

\[ m_1 = \frac{F \cdot r^{2}}{G \cdot m_2} \]

Подставляем известные значения и рассчитываем:

\[ m_1 = \frac{k \cdot (19600 \times 10^3)^3}{G \cdot 6.4^2} \]

Чтобы получить окончательное значение массы Плутона, мы должны использовать известное значение гравитационной постоянной \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/\text{кг} \cdot \text{с}^2 \).

\[ m_1 \approx 1.352 \times 10^{22} \, \text{кг} \]

Таким образом, масса Плутона составляет примерно \(1.352 \times 10^{22}\) килограмм.