Задача 1. Какова большая полуось орбиты спутника Титания, если его период обращения вокруг Урана составляет 8,7 земных

Задача 1. Для решения этой задачи, мы можем использовать закон Кеплера о периодах обращения планет:

$$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$

где $T_1$ и $T_2$ - периоды обращения планет, $a_1$ и $a_2$ - их большие полуоси орбит.

Дано:
$T_1=8.7$ земных суток,
$T_2=2.5$ земных суток.

Теперь мы можем найти отношение больших полуосей орбит планет:

$$\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{T_1^2}{T_2^2}$$
$$\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{{8.7}^2}{{2.5}^2}$$
$$\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{75.69}{6.25}$$
$$\frac{a_1^3}{a_2^3}\approx 12.1$$

Теперь мы можем найти значение большой полуоси орбиты Титания:

$$\frac{a_1^3}{a_2^3}=12.1$$
$$\frac{a_1}{a_2}\approx \sqrt[3]{12.1}$$
$$a_1\approx a_2\times \sqrt[3]{12.1}$$
$$a_1\approx 2.5\times \sqrt[3]{12.1}$$

Примем, что значение большой полуоси орбиты спутника Ариэль ($a_2$) равно 1 единице.

Тогда, большая полуось орбиты Титания составляет:

$$a_1\approx 2.5\times \sqrt[3]{12.1}\approx 2.5\times 2.29\approx 5.72$$

Ответ: Большая полуось орбиты спутника Титания составляет примерно 5.72 единицы.

Задача 2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Кеплера о площадях, который говорит, что "радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, описывает за равные промежутки времени равные площади".

Дано:
$T_1=365$ земных суток (период обращения Земли вокруг Солнца),
$T_2=10759$ земных суток (период обращения Сатурна).

Зная, что периметр орбиты планеты равен $P=2\pi a$, и подставляя значения радиуса орбиты Сатурна ($a$) в формулу, мы можем найти период обращения Сатурна в днях:

$$P=2\pi a$$
$2\pi a=T_2$ (в днях)
$a=\frac{T_2}{2\pi }$ (в днях)

Подставляя значения, мы получаем:

$a=\frac{10759}{2\pi }\approx 1710.41$ (в днях)

Теперь мы можем найти угловое расстояние, пройденное Сатурном за время 90°:

$90°$ составляют $\frac{90}{360}=\frac{1}{4}$ полного оборота.

Таким образом, угловое расстояние, пройденное Сатурном, равно $\frac{1}{4}$ периметра его орбиты. Подставляя значение радиуса орбиты Сатурна, получаем:

$90°=\frac{1}{4}\times 2\pi \times 1710.41\times 9.58$

Теперь давайте рассчитаем это значение:

$\frac{1}{4}\times 2\pi \times 1710.41\times 9.58\approx 5734.92$ (в днях)

Ответ: Сатурн находился на угловом расстоянии 90° от Солнца примерно 5734.92 дня.