Задача 1. Какова большая полуось орбиты спутника Титания, если его период обращения вокруг Урана составляет 8,7 земных

Задача 1. Для решения этой задачи, мы можем использовать закон Кеплера о периодах обращения планет:

\[\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}\]

где \(T_1\) и \(T_2\) - периоды обращения планет, \(a_1\) и \(a_2\) - их большие полуоси орбит.

Дано:
\(T_1 = 8.7\) земных суток,
\(T_2 = 2.5\) земных суток.

Теперь мы можем найти отношение больших полуосей орбит планет:

\[\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{T_1^2}{T_2^2}\]
\[\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{8.7^2}{2.5^2}\]
\[\frac{a_1^3}{a_2^3} = \frac{75.69}{6.25}\]
\[\frac{a_1^3}{a_2^3} \approx 12.1\]

Теперь мы можем найти значение большой полуоси орбиты Титания:

\[\frac{a_1^3}{a_2^3} = 12.1\]
\[\frac{a_1}{a_2} \approx \sqrt[3]{12.1}\]
\[a_1 \approx a_2 \times \sqrt[3]{12.1}\]
\[a_1 \approx 2.5 \times \sqrt[3]{12.1}\]

Примем, что значение большой полуоси орбиты спутника Ариэль (\(a_2\)) равно 1 единице.

Тогда, большая полуось орбиты Титания составляет:

\[a_1 \approx 2.5 \times \sqrt[3]{12.1} \approx 2.5 \times 2.29 \approx 5.72\]

Ответ: Большая полуось орбиты спутника Титания составляет примерно 5.72 единицы.

Задача 2. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон Кеплера о площадях, который говорит, что "радиус-вектор, проведенный из Солнца к планете, описывает за равные промежутки времени равные площади".

Дано:
\(T_1 = 365\) земных суток (период обращения Земли вокруг Солнца),
\(T_2 = 10759\) земных суток (период обращения Сатурна).

Зная, что периметр орбиты планеты равен \(P = 2 \pi a\), и подставляя значения радиуса орбиты Сатурна (\(a\)) в формулу, мы можем найти период обращения Сатурна в днях:

\[P = 2 \pi a\]
\(2 \pi a = T_2\) (в днях)
\(a = \frac{T_2}{2 \pi}\) (в днях)

Подставляя значения, мы получаем:

\(a = \frac{10759}{2 \pi} \approx 1710.41\) (в днях)

Теперь мы можем найти угловое расстояние, пройденное Сатурном за время 90°:

\(90°\) составляют \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\) полного оборота.

Таким образом, угловое расстояние, пройденное Сатурном, равно \(\frac{1}{4}\) периметра его орбиты. Подставляя значение радиуса орбиты Сатурна, получаем:

\(90° = \frac{1}{4} \times 2 \pi \times 1710.41 \times 9.58\)

Теперь давайте рассчитаем это значение:

\(\frac{1}{4} \times 2 \pi \times 1710.41 \times 9.58 \approx 5734.92\) (в днях)

Ответ: Сатурн находился на угловом расстоянии 90° от Солнца примерно 5734.92 дня.