Задача 1. Если период обращения спутника Ариэль вокруг Урана составляет приблизительно 2,5 земных суток, а его большая

Задача 1:
Первым шагом нам необходимо использовать закон Кеплера, который гласит, что квадрат периода обращения (T) планеты вокруг Солнца пропорционален кубу большой полуоси орбиты (a):

\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{T_1^2}{a_1^3} \]

где \( T_1 \) и \( a_1 \) - период обращения и большая полуось орбиты спутника Ариэля, а \( T \) и \( a \) - период обращения и большая полуось орбиты спутника Титания.

Мы имеем следующие данные:
\( T_1 = 2,5 \) земных суток,
\( a_1 = 191 \) тыс. км,
\( T = 8,7 \) земных суток.

Подставим значения в формулу и найдем \( a \):

\[ \frac{8,7^2}{a^3} = \frac{2,5^2}{191^3} \]

Далее мы можем решить эту пропорцию, чтобы найти \( a \):

\[ 8,7^2 \cdot 191^3 = 2,5^2 \cdot a^3 \]

\[ a^3 = \frac{8,7^2 \cdot 191^3}{2,5^2} \]

\[ a = \sqrt[3]{\frac{8,7^2 \cdot 191^3}{2,5^2}} \]

Используя калькулятор, мы найдем приближенное значение \( a \):

\[ a \approx 436,4 \] тыс. км

Ответ: Большая полуось орбиты спутника Титания примерно равна 436,4 тыс. км.

Задача 2:
В данной задаче мы должны использовать третий закон Кеплера, который позволяет нам найти период обращения планеты, используя средний радиус орбиты (R):

\[ T^2 = k \cdot R^3 \]

где \( T \) - период обращения планеты, \( R \) - средний радиус орбиты планеты, \( k \) - постоянная, общая для всех планет.

Мы имеем следующие данные:
\( T = 10 759 \) земных суток,
\( R = 9,58 \) а.е.

Чтобы найти постоянную \( k \), мы можем использовать период обращения Земли вокруг Солнца, который составляет 365 земных суток:

\[ 365^2 = k \cdot 1^3 \]

Отсюда можно найти \( k \):

\[ k = \frac{365^2}{1^3} \]

Теперь мы можем использовать полученное значение \( k \), чтобы найти период обращения Сатурна на угловом расстоянии 90° от Солнца:

\[ T^2 = k \cdot R^3 \]

\[ T^2 = \frac{365^2}{1^3} \cdot (9,58)^3 \]

\[ T = \sqrt{\frac{365^2}{1^3} \cdot (9,58)^3} \]

Используя калькулятор, мы найдем приближенное значение \( T \):

\[ T \approx 29 457,5 \] земных суток

Ответ: Сатурн будет находиться на угловом расстоянии 90° от Солнца примерно через 29 458 земных суток после 9 июля 2019 года.