За який період часу кількість радіоактивних атомів розпадаючогося радію-226 зменшується вдвічі? У порівнянні

Обратимся к закону радиоактивного распада, согласно которому количество оставшихся радиоактивных атомов вещества уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Формула для этого процесса будет иметь вид:

\[N_t = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

где:
\(N_t\) - количество оставшихся атомов вещества в момент времени \(t\),
\(N_0\) - изначальное количество атомов вещества,
\(\lambda\) - радиоактивная постоянная вещества,
\(t\) - промежуток времени.

Теперь посмотрим на условия задачи. Мы хотим найти период времени, за который количество радиоактивных атомов радия-226 уменьшится вдвое. Пусть \(t_1\) - это искомый период времени, тогда в конечный момент времени \(t_1\) останется только половина исходного количества атомов: \(N_{t_1} = \frac{N_0}{2}\).

Тогда мы можем записать уравнение следующим образом:

\[\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_1}\]

Делитель находится в числителе, поэтому можно сократить \(N_0\) на обеих частях уравнения:

\[\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_1}\]

Для упрощения дальнейших вычислений воспользуемся свойствами экспоненты и возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln(e^{-\lambda t_1})\]

Используем свойство логарифма \(\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)\):

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_1 \cdot \ln(e)\]

Так как \(\ln(e) = 1\), упрощаем выражение:

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_1\]

Поскольку \(\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln(2)\), окончательно получаем:

\[-\ln(2) = -\lambda t_1\]

Отсюда находим значение \(\lambda t_1\):

\[\lambda t_1 = \ln(2)\]

Таким образом, для радия-226 период полураспада (\(t_1\)) можно найти по формуле:

\[t_1 = \frac{\ln(2)}{\lambda}\]

Проделаем аналогичные вычисления для цезия-137. Пусть \(t_2\) - период полураспада для данного вещества. Также предположим, что в конечный момент времени \(t_2\) останется только половина исходного количества атомов: \(N_{t_2} = \frac{N_0}{2}\).

Аналогично закону радиоактивного распада, получаем:

\[\frac{N_0}{2} = N_0 \cdot e^{-\lambda t_2}\]

Сокращаем \(N_0\) на обеих частях уравнения:

\[\frac{1}{2} = e^{-\lambda t_2}\]

Продолжаем вычисления аналогично задаче с радием-226:

\[\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda t_2\]

\[-\ln(2) = -\lambda t_2\]

Отсюда находим значение \(\lambda t_2\):

\[\lambda t_2 = \ln(2)\]

Таким образом, период полураспада цезия-137 (\(t_2\)) также равен:

\[t_2 = \frac{\ln(2)}{\lambda}\]

Теперь осталось только сравнить найденные значения \(t_1\) и \(t_2\). Тот элемент, для которого значение \(t\) больше, имеет большую радиоактивную стабильность по сравнению с другим элементом.

Подведем итоги:
1. Период полураспада для радия-226 (\(t_1\)) может быть найден по формуле \(t_1 = \frac{\ln(2)}{\lambda}\).
2. Период полураспада для цезия-137 (\(t_2\)) также равен \(t_2 = \frac{\ln(2)}{\lambda}\).
3. Сравните значения \(t_1\) и \(t_2\). На основе этого сравнения выведите, какой элемент имеет большую радиоактивную стабильность.