За какой период времени две лилии полностью заполнят озеро, если каждая из них увеличивает свои размеры вдвое и озеро

Чтобы решить эту задачу, в первую очередь мы должны определить, за какой период времени одна лилия заполняет половину озера. Затем мы сможем определить, сколько времени потребуется для того, чтобы две лилии полностью заполнили озеро.

Итак, давайте начнем с первого шага. Пусть \(x\) - количество дней, за которые одна лилия заполнит половину озера. За каждый день лилия увеличивает свои размеры вдвое. То есть, каждый день она становится в два раза больше, чем в предыдущий день.

После первого дня лилия займет \(\frac{1}{2}\) озера.
После второго дня она будет иметь размер, равный \(\frac{1}{2} \times 2 = 1\) озеро.
После третьего дня - \(\frac{3}{2}\) озера.
После четвертого дня - \(\frac{3}{2} \times 2 = 3\) озера.
И так далее.

Мы можем заметить, что каждый день количество озер, занимаемых лилией, удваивается: \(\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \ldots\).

Теперь перейдем ко второму шагу. Мы знаем, что озеро заполняется за 137 дней. За первый день озеро заполняется на \(\frac{1}{2}\), за второй день - на 1, за третий день - на 2, и так далее. То есть, для всех дней, от 1 до 137, мы должны сложить количество озер, которые занимает одна лилия.

Как мы уже заметили, это количество удваивается каждый день. Таким образом, за первый день она займет \(\frac{1}{2}\) озера, за второй день - 1 озеро, за третий день - 2 озера, за четвертый день - 4 озера и так далее.

Чтобы найти общее количество озер, заполненных одной лилией за 137 дней, мы должны сложить все возможные степени числа 2 от 1 до 137.

Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, мы можем вычислить ответ:

\[\frac{1 \times (1 - 2^{137})}{1 - 2} = 2^{137} - 1 \approx 2.823 \times 10^{41}\]

Таким образом, одна лилия заполняет около \(2.823 \times 10^{41}\) озер за 137 дней.

Теперь мы можем ответить на задачу. Чтобы две лилии полностью заполнили озеро, им потребуется в два раза больше времени, чем одной лилии.

Итак, две лилии заполняют озеро за:

\[137 \times 2 = 274\]

Таким образом, две лилии полностью заполнят озеро за 274 дня.