За какое время полураспадится половина изначального числа ядер, если период полураспада равен 12,3 года? Какое

Период полураспада является временем, за которое половина изначального количества ядер распадается. В данной задаче период полураспада равен 12,3 года.

1. Рассмотрим первый вопрос: за какое время полураспадется половина изначального числа ядер.

Пусть \(N_0\) - изначальное количество ядер, а \(N_t\) - количество ядер после прошествия времени \(t\).

Из определения периода полураспада следует, что к моменту \(t_1\), равного периоду полураспада, количество ядер \(N_{t_1}\) будет составлять половину изначального количества: \(N_{t_1} = \frac{{N_0}}{2}\).

Мы знаем, что период полураспада равен 12,3 года, поэтому подставим эту информацию в уравнение:

\(\frac{{N_0}}{2} = N_0 \cdot 2^{-\frac{{t_1}}{{12.3}}}\).

Для нахождения времени используем логарифмирование:

\(\log_2 \frac{{N_0}}{2} = \log_2 N_0 + \left(-\frac{{t_1}}{{12.3}}\right) \log_2 2\)

\(\log_2 \frac{{N_0}}{2} = \log_2 N_0 - \frac{{t_1}}{{12.3}}\).

Теперь решим уравнение относительно времени \(t_1\):

\(-\frac{{t_1}}{{12.3}} = \log_2 \frac{{N_0}}{2} - \log_2 N_0\).

\(-\frac{{t_1}}{{12.3}} = \log_2 \frac{{\cancel{2} \cdot N_0}}{\cancel{2} \cdot N_0}\).

\(-\frac{{t_1}}{{12.3}} = \log_2 1\).

\(-\frac{{t_1}}{{12.3}} = 0\).

\(t_1 = 0\).

Ответ: Полураспад половины изначального количества ядер происходит сразу же, то есть за 0 лет.

2. Рассмотрим второй вопрос: сколько ядер полностью распадется за удвоенный период полураспада.

Удвоенный период полураспада составит \(2 \cdot 12.3 = 24.6\) лет.

Используя формулу для количества ядер после прошествия времени:

\(N_t = N_0 \cdot 2^{-\frac{{t}}{{12.3}}}\),

где \(t\) - время в годах, и подставляя \(t = 24.6\), найдем количество ядер \(N_{t_2}\) после удвоенного периода полураспада:

\(N_{t_2} = N_0 \cdot 2^{-\frac{{24.6}}{{12.3}}} = N_0 \cdot 2^{-2} = \frac{{N_0}}{4}\).

Ответ: Половина ядер полностью распадется за удвоенный период полураспада.

3. Рассмотрим третий вопрос: какое количество ядер распадется за время, в два раза большее, чем период полураспада, если изначальное число ядер равно 1 000 000.

В этом случае время составит \(2 \cdot 12.3 = 24.6\) лет.

Подставим данное значение времени в формулу для количества ядер:

\(N_t = N_0 \cdot 2^{-\frac{{t}}{{12.3}}}\),

где \(t\) - время в годах, и подставляя \(t = 24.6\) и \(N_0 = 1,000,000\), найдем количество ядер \(N_{t_3}\) после удвоенного периода полураспада:

\(N_{t_3} = 1,000,000 \cdot 2^{-\frac{{24.6}}{{12.3}}} = 1,000,000 \cdot 2^{-2} = 1,000,000 \cdot \frac{1}{4} = 250,000\).

Ответ: За время, в два раза большее, чем период полураспада (24.6 лет), количество ядер уменьшится с 1,000,000 до 250,000.