За какое время кинетическая энергия математического маятника изменяется 1 м в направлении от положения равновесия?

Для решения данной задачи нам понадобится знание формулы для кинетической энергии (КЭ) математического маятника и выражения для периода колебаний.

Кинетическая энергия математического маятника зависит от его скорости. В общем виде, формула для КЭ выглядит так:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2,\]

где \(m\) - масса маятника, \(v\) - скорость маятника.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины. Формула для периода колебаний имеет вид:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},\]

где \(T\) - период колебаний, \(L\) - длина маятника, \(g\) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с\(^2\)).

Мы можем использовать эти формулы, чтобы найти отношение изменения кинетической энергии к изменению длины математического маятника.

Предположим, что длина математического маятника изменяется на \(1\) метр. Мы можем выбрать две разные длины маятника: \(L_1\) и \(L_2\), где \(L_1 = L\) и \(L_2 = L + 1\).

Теперь мы можем выразить периоды колебаний для этих двух длин маятника:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \quad \text{и} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L+1}{g}}.\]

Используя формулу для кинетической энергии, мы можем найти скорости маятника для каждого из этих периодов:

\[v_1 = \sqrt{\frac{2E_{\text{кин}_1}}{m}} \quad \text{и} \quad v_2 = \sqrt{\frac{2E_{\text{кин}_2}}{m}}.\]

Нам нужно найти разность между кинетической энергией при \(L_2\) и \(L_1\), то есть:

\[\Delta E_{\text{кин}} = E_{\text{кин}_2} - E_{\text{кин}_1}.\]

Теперь мы можем подставить значения скоростей в формулу для КЭ:

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2.\]

Заменим значения \(v_1\) и \(v_2\):

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}_2}}{m}}\right)^2 - \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}_1}}{m}}\right)^2.\]

Упростим выражение:

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{2E_{\text{кин}_2}}{m} - \frac{2E_{\text{кин}_1}}{m}.\]

Теперь продолжим сокращать выражение:

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{2}{m} (E_{\text{кин}_2} - E_{\text{кин}_1}).\]

Поскольку \(E_{\text{кин}_2}\) и \(E_{\text{кин}_1}\) зависят от скоростей, мы можем также выразить их в терминах периодов:

\[E_{\text{кин}_2} = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}}{m}}\right)^2 \quad \text{и} \quad E_{\text{кин}_1} = \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}}{m}}\right)^2.\]

Подставим эти значения в выражение для \(\Delta E_{\text{кин}}\):

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{2}{m} \left(\frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}}{m}}\right)^2 - \frac{1}{2} m \left(\sqrt{\frac{2E_{\text{кин}}}{m}}\right)^2\right).\]

Сократим выражение:

\[\Delta E_{\text{кин}} = \frac{2}{m} \cdot 0 = 0.\]

Получается, что изменение кинетической энергии математического маятника при изменении его длины на \(1\) метр равно нулю.

Это происходит потому, что при изменении длины маятника, его кинетическая энергия не меняется. Кинетическая энергия зависит только от скорости, которая в свою очередь зависит от длины математического маятника и периода колебаний. В данном случае, при изменении длины на \(1\) метр, период колебаний изменяется, но скорость и кинетическая энергия остаются неизменными.

Таким образом, мы получаем, что кинетическая энергия математического маятника не меняется при изменении его длины на \(1\) метр.