Яку кількість простору має правильна чотирикутна піраміда, якщо діагональ квадрата, який є її основою, рівна бічному

Давайте решим задачу шаг за шагом:

1. Давайте обозначим данную величину: пусть сторона квадрата будет равна \( a \), а длина боковой грани пирамиды (как и диагональ квадрата) будет равна \( d \).

2. Для начала рассмотрим основу пирамиды, которая является правильным квадратом. Поскольку диагональ квадрата равна боковой грани (в данном случае \( d \)), то по теореме Пифагора можно найти сторону квадрата через его диагональ: \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \).

3. Известно, что объем правильной пирамиды можно найти как произведение площади основания на высоту пирамиды, деленное на 3. В данном случае, поскольку основание является квадратом, его площадь равна \( S_{\text{осн}} = a^2 \).

4. Нам нужно найти высоту пирамиды, чтобы найти объем. Чтобы это сделать, рассмотрим прямоугольный треугольник, верхняя вершина которого - это вершина пирамиды, а основание - это половина стороны квадрата (или \(\frac{a}{2}\)). Боковая грань пирамиды является гипотенузой этого треугольника.

5. По теореме Пифагора для этого треугольника: \(\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = d^2\), где \( h \) - высота пирамиды. Так как нам известно, что диагональ квадрата равна длине боковой грани пирамиды (\( d \)), мы можем записать соотношение в виде: \(\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2\).

6. Выражая высоту \( h \) через сторону квадрата \( a \), получаем: \( h = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2}\). Подставляя \( a = \frac{d}{\sqrt{2}} \), получаем \( h = \sqrt{\left(\frac{d}{2\sqrt{2}}\right)^2} = \frac{d}{2\sqrt{2}} \).

7. Теперь мы можем найти объем пирамиды, подставив значения площади основания и высоты: \( V = \frac{S_{\text{осн}} \times h}{3} = \frac{a^2 \times h}{3} \). Подставим выражения \( a \) и \( h \) в это уравнение, чтобы найти окончательное выражение для объема пирамиды.

\[ V = \frac{\left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 \times \frac{d}{2\sqrt{2}}}{3} = \frac{\frac{d^2}{2} \times \frac{d}{2\sqrt{2}}}{3} = \frac{d^3}{12\sqrt{2}} \]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды с основой, у которой длина диагонали квадрата равна боковой грани и имеет длину \( d \), равен \(\frac{d^3}{12\sqrt{2}}\).