Якщо судно проходить відстань між двома містами вгору проти течії річки за 80 годин, а вниз за течією річки

Давайте решим эту задачу пошагово, чтобы все было понятно. Предположим, что скорость судна в неподвижной воде равна \(x\) км/ч, а скорость течения реки равна \(y\) км/ч.

Когда судно плывет вверх против течения, его общая скорость будет равна разности скорости судна и скорости течения, то есть \(x-y\) км/ч. По условию задачи, время, за которое судно пройдет расстояние между городами в этом случае, равно 80 часам.

Теперь рассмотрим ситуацию, когда судно плывет вниз по течению. В этом случае общая скорость судна будет равна сумме скорости судна и скорости течения, то есть \(x+y\) км/ч. Согласно условию задачи, время, за которое судно пройдет расстояние между городами в этом случае, составляет 60 часов.

Мы можем использовать эти два уравнения для определения значений \(x\) и \(y\) и затем найти время, за которое судно пройдет расстояние на плоту, используя полученные значения.

Уравнение для движения судна вверх:
\[80 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{\text{{скорость судна вверх}}}}\]
\[80 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{x-y}}\]

Уравнение для движения судна вниз:
\[60 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{\text{{скорость судна вниз}}}}\]
\[60 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{x+y}}\]

Теперь давайте решим эти уравнения относительно \(\text{{расстояния}}\):
\[\text{{расстояние}} = 80(x-y)\]
\[\text{{расстояние}} = 60(x+y)\]

У нас есть два равенства для \(\text{{расстояния}}\), поэтому мы можем приравнять их:
\[80(x-y) = 60(x+y)\]

Раскрыв скобки, получим:
\[80x-80y = 60x+60y\]

Теперь соберем все слагаемые с \(x\) в одну часть уравнения, а все слагаемые с \(y\) в другую:
\[80x - 60x = 60y + 80y\]
\[20x = 140y\]

Теперь мы можем выразить одну переменную через другую:
\[x = \frac{{140y}}{{20}}\]
\[x = 7y\]

Теперь, когда мы знаем значение \(x\) через \(y\), можем вернуться к одному из исходных уравнений (например, к уравнению для движения судна вверх), чтобы найти значение \(y\).
Подставим \(x\) в уравнение:
\[80 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{x-y}}\]
\[80 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{7y-y}}\]
\[80 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{6y}}\]

Теперь нам нужно выразить \(\text{{расстояние}}\) через \(y\). Заметим, что \(\text{{расстояние}}\) одинаково в обоих случаях (зависит только от расстояния между городами), поэтому мы можем использовать любое из уравнений, чтобы найти его значение.
Давайте возьмем уравнение для движения судна вниз:
\[60 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{x+y}}\]
\[60 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{7y+y}}\]
\[60 = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{8y}}\]

Таким образом, мы получили два уравнения для \(\text{{расстояния}}\):
\[\text{{расстояние}} = 80 = 6y\]
\[\text{{расстояние}} = 60 = 8y\]

Когда мы решаем эти уравнения, мы получаем следующие значения:
\[y = \frac{{80}}{{6}} = \frac{{40}}{{3}}\]
\[y = \frac{{60}}{{8}} = 7.5\]

Теперь, чтобы найти время, за которое судно пройдет расстояние на плоту, мы можем использовать любое из этих значений.

Давайте возьмем \(y = \frac{{40}}{{3}}\):
\[\text{{расстояние}} = 6y = 6 \cdot \frac{{40}}{{3}} = 80\]
\[t = \frac{{\text{{расстояние}}}}{{x+y}} = \frac{{80}}{{x + \frac{{40}}{{3}}}}\]

Теперь нам остается только найти значение \(t\). Мы можем использовать любое из исходных уравнений для этого, например:
\[80 = \frac{{80}}{{x - \frac{{40}}{{3}}}}\]
\[1 = \frac{{1}}{{x - \frac{{40}}{{3}}}}\]
\[x - \frac{{40}}{{3}} = 1\]
\[x = 1 + \frac{{40}}{{3}} = \frac{{43}}{{3}}\]

Теперь, когда мы знаем значение \(x\), мы можем рассчитать \(t\):
\[t = \frac{{80}}{{\frac{{43}}{{3}} + \frac{{40}}{{3}}}}\]
\[t = \frac{{80}}{{\frac{{83}}{{3}}}} = \frac{{240}}{{83}} \approx 2,892\]

Значит, время, за которое судно пройдет расстояние на плоту, составляет примерно 2 часа и 53 минуты (2,892 часа). Это значение отличается от ответа "68 и 4/7", что означает, что предложенный ответ неправильный.