Якою повинна бути кутова швидкість обертання кулі масою 2,5 кг на мотузці завдовжки 40 см в вертикальній площині

Щоб знайти необхідну кутову швидкість обертання кулі, ми можемо скористатися законом збереження енергії. Ми можемо припустити, що початкова потенціальна енергія кулі перетворюється на кінетичну енергію обертання.

При повороті кулі на циркулярній траєкторії мотузка створює центростремлення, яке дорівнює натягу мотузки, щоб утримувати кулю в руху по колу. Якщо мотузка натягнута занадто сильно, вона може обірватися.

За даними вихідними данними ми маємо:
- Маса кулі (m) = 2,5 кг
- Довжина мотузки (L) = 40 см = 0,4 м

Ми можемо використовувати такі фізичні закони:
1. Потенціальна енергія (U) на висоті h може бути обчислена за формулою: \(U = m \cdot g \cdot h\), де g - прискорення вільного падіння (приблизно 9,8 м/с²).
2. Кінетична енергія (K) обертання кулі може бути обчислена за формулою: \(K = \frac{1}{2} I \cdot \omega^2\), де I - момент інерції, \(\omega\) - кутова швидкість обертання.
3. Момент інерції (I) кулі може бути обчислений за формулою: \(I = \frac{2}{5} m \cdot r^2\), де r - радіус кулі.

Знаючи, що натяг мотузки дорівнює потенціальній енергії, а центростреміння пов"язане з кутовою швидкістю обертання шляхом формули \(a = \frac{v^2}{r}\), ми можемо побудувати рівняння для знаходження кутової швидкості обертання.

\[m \cdot g \cdot L = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \cdot \omega^2\]

Відомо, що довжина мотузки L дорівнює радіусу r кола, тому рівняння можна спростити:

\[mgL = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot mr^2 \cdot \omega^2\]

Скасовуємо m з обох боків і спрощуємо:

\[g \cdot L = \frac{1}{5} \cdot r^2 \cdot \omega^2\]

Залишаємо обидві сторони рівняння без змінних, щоб знайти значення кутової швидкості:

\[\omega^2 = \frac{5 \cdot g \cdot L}{r^2}\]

На цьому етапі ми маємо квадрат кутової швидкості. Щоб знайти саму кутову швидкість, нам потрібно взяти квадратний корінь з обох боків рівняння:

\[\omega = \sqrt{\frac{5 \cdot g \cdot L}{r^2}}\]

Підставляючи дані, які дані у завданні:
- m = 2,5 кг
- L = 0,4 м
- g = 9,8 м/с²
- r = L = 0,4 м

Отримуємо:

\[\omega = \sqrt{\frac{5 \cdot 9,8 \cdot 0,4}{0,4^2}}\]

Розрахунок:

\[\omega = \sqrt{\frac{19,6}{0,16}} = \sqrt{122,5} \approx 11,07\text{ рад/с}\]

Таким чином, необхідна кутова швидкість обертання кулі для того, щоб мотузка не обірвалася, становить приблизно 11,07 рад/с. Обгрунтовано: мотузка буде втомлюватися, аж коли кутова швидкість стане більшою, ніж це значення. Якщо кутова швидкість перевищує це значення, то мотузка обірветься під впливом центростремлення.