Якою є фокусна відстань тонкої збиральної лінзи, якщо предмет розташований на відстані 10 см від лінзи?

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться використати формулу тонкої лінзи, яка виглядає так:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}\]

де:
\(f\) - фокусна відстань лінзи,
\(d_o\) - відстань від предмета до лінзи (в даному випадку 10 см),
\(d_i\) - відстань від зображення до лінзи.

Оскільки ми шукаємо фокусну відстань, відстань до зображення \(d_i\) буде відома нам після розв"язання задачі. Поки що позначимо її як \(x\).

Тепер можемо підставити відомі значення в формулу лінзи:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{10} + \frac{1}{x}\]

За геометричними правилами, коли предмет знаходиться на відстані \(d_o\) перед лінзою, зображення утворюється на відстані \(d_i\) після лінзи, з протилежного боку. Оскільки в даному випадку фокусна відстань \(f\) буде додатною, ми використовуємо знак "+" перед кожним доданком у формулі.

Тепер нам потрібно розв"язати цю рівняння щодо \(f\).

Спочатку помножимо обидві частини рівняння на \(10x\) для спрощення розрахунків:

\[10x \cdot \frac{1}{f} = 10x \cdot \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{x}\right)\]

Зараз можемо спростити це рівняння:

\[10x \cdot \frac{1}{f} = x + 10\]

На цьому кроці ми поміняли місцями \(x\) і \(10\), оскільки \(x\) є знаменником у другому доданку.

Тепер можемо помножити обидві частини на \(f\) для спрощення рівняння:

\[10x = f \cdot (x + 10)\]

Розгорнемо праву частину рівняння:

\[10x = fx + 10f\]

Тепер необхідно виділити \(f\) на одному боці рівняння:

\[10x - fx = 10f\]

Факторизуємо \(f\) на лівій стороні рівняння:

\[x(10 - f) = 10f\]

Для розв"язання цього рівняння, ми можемо поділити обидві частини на \((10 - f)\):

\[x = \frac{10f}{10 - f}\]

Отже, ми отримали вираз для фокусної відстані \(f\) в залежності від \(x\):

\[f = \frac{10x}{10 - x}\]

Тепер, якщо ми підставимо в задачу значення \(x = 10\), ми зможемо розрахувати фокусну відстань \(f\):

\[f = \frac{10 \cdot 10}{10 - 10} = \frac{100}{0}\]

Однак, в останньому розрахунку ми отримали ділення на нуль, що неможливо. Це свідчить про те, що в даному випадку зображення не утворюється на певній відстані після лінзи. Це можливо у випадку, коли предмет розташований на відстані фокусу (f) перед лінзою. Тому відповідь на цю задачу є "неможливо визначити фокусну відстань".