Якою є фокусна відстань тонкої збиральної лінзи, якщо предмет розташований на відстані 10 см від лінзи?

Для розв"язання цієї задачі нам знадобиться використати формулу тонкої лінзи, яка виглядає так:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}$$

де:
$f$ - фокусна відстань лінзи,
$d_o$ - відстань від предмета до лінзи (в даному випадку 10 см),
$d_i$ - відстань від зображення до лінзи.

Оскільки ми шукаємо фокусну відстань, відстань до зображення $d_i$ буде відома нам після розв"язання задачі. Поки що позначимо її як $x$.

Тепер можемо підставити відомі значення в формулу лінзи:

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{10}+\frac{1}{x}$$

За геометричними правилами, коли предмет знаходиться на відстані $d_o$ перед лінзою, зображення утворюється на відстані $d_i$ після лінзи, з протилежного боку. Оскільки в даному випадку фокусна відстань $f$ буде додатною, ми використовуємо знак "+" перед кожним доданком у формулі.

Тепер нам потрібно розв"язати цю рівняння щодо $f$.

Спочатку помножимо обидві частини рівняння на $10x$ для спрощення розрахунків:

$$10x\cdot \frac{1}{f}=10x\cdot (\frac{1}{10}+\frac{1}{x})$$

Зараз можемо спростити це рівняння:

$$10x\cdot \frac{1}{f}=x+10$$

На цьому кроці ми поміняли місцями $x$ і $10$, оскільки $x$ є знаменником у другому доданку.

Тепер можемо помножити обидві частини на $f$ для спрощення рівняння:

$$10x=f\cdot (x+10)$$

Розгорнемо праву частину рівняння:

$$10x=fx+10f$$

Тепер необхідно виділити $f$ на одному боці рівняння:

$$10x-fx=10f$$

Факторизуємо $f$ на лівій стороні рівняння:

$$x(10-f)=10f$$

Для розв"язання цього рівняння, ми можемо поділити обидві частини на $(10-f)$:

$$x=\frac{10f}{10-f}$$

Отже, ми отримали вираз для фокусної відстані $f$ в залежності від $x$:

$$f=\frac{10x}{10-x}$$

Тепер, якщо ми підставимо в задачу значення $x=10$, ми зможемо розрахувати фокусну відстань $f$:

$$f=\frac{10\cdot 10}{10-10}=\frac{100}{0}$$

Однак, в останньому розрахунку ми отримали ділення на нуль, що неможливо. Це свідчить про те, що в даному випадку зображення не утворюється на певній відстані після лінзи. Це можливо у випадку, коли предмет розташований на відстані фокусу (f) перед лінзою. Тому відповідь на цю задачу є "неможливо визначити фокусну відстань".