Якого розміру радіус планети, маса якої втричі менша за землю, якщо на її поверхні прискорення вільного падіння таке

Давайте розглянемо цю задачу.

При наявності планети з масою втричі меншою за землю і прискоренням вільного падіння, яке дорівнює прискоренню вільного падіння на землі, ми хотіли б знайти радіус цієї планети.

Для розв"язання задачі ми можемо скористатися законом всесвітнього тяжіння. Цей закон формулюється таким чином: сила притягання між двома тілами пропорційна масам цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між цими тілами.

Ми знаємо, що маса планети втричі менша за масу землі, тобто маса планети буде \(m_п=\frac{1}{3}m_з\), де \(m_п\) - маса планети, \(m_з\) - маса землі.

Також нам дано, що прискорення вільного падіння на цій планеті дорівнює прискоренню вільного падіння на землі, тобто \(g_п=g_з\), де \(g_п\) - прискорення вільного падіння на планеті, \(g_з\) - прискорення вільного падіння на землі.

За законом всесвітнього тяжіння, ми також знаємо, що \(F=mg\), де \(F\) - сила притягання, \(m\) - маса тіла, \(g\) - прискорення вільного падіння.

Застосувавши цей закон до планети і землі, ми отримуємо \(F_п=m_пg_п\) для планети і \(F_з=m_зg_з\) для землі.

Оскільки сила притягання між цими тілами однакова, ми можемо прирівняти ці дві сили: \(F_п=F_з\).
Тоді \(m_пg_п=m_зg_з\).

Підставляючи значення маси планети і землі, отримуємо \(\frac{1}{3}m_зg_п=m_зg_з\).

Скасувавши \(m_з\) з обох боків, маємо \(\frac{1}{3}g_п=g_з\).

Отже, ми отримали вираз для прискорення вільного падіння на планеті в термінах прискорення вільного падіння на землі.

Тепер ми можемо використати співвідношення між прискоренням вільного падіння та радіусом планети. Це співвідношення виглядає так: \(g=\frac{{GM}}{{r^2}}\), де \(G\) - гравітаційна стала, \(M\) - маса планети, \(r\) - радіус планети.

Знаючи, що \(g_п=g_з\) і маючи вираз для прискорення вільного падіння на планеті, ми можемо прирівняти ці дві формули:

\[\frac{1}{3}\frac{{GM}}{{r^2}}=g_з\]

Скасувавши \(g_з\) і помноживши обидві сторони рівняння на 3, ми отримаємо:

\[\frac{{GM}}{{r^2}}=3g_з\]

Зараз ми можемо використати відому формулу для знаходження радіуса планети:

\[r=\sqrt{\frac{{GM}}{{3g_з}}}\]

Отже, радіус планети буде рівним \(\sqrt{\frac{{GM}}{{3g_з}}}\), де \(G\) - гравітаційна стала, \(M\) - маса планети і \(g_з\) - прискорення вільного падіння на землі.

Це є розв"язок задачі. Важливо пам"ятати, що вміння працювати з формулами і повний розуміння фізичних понять є ключем до успішного розв"язання подібних задач.