Якійшиз площині, що проходить через вершину конуса з основою радіуса r і перетинає основу по хорді, яку видно з центра

Щоб знайти площу перерізу, що проходить через вершину конуса, нам потрібно використовувати поняття схожості трикутників.

Нехай О буде центром основи конуса, а V - вершиною конуса. Нехай A та B - точки перетину хорди з колом основи (див. схему нижче). Оберемо точку С на ВО так, що СА буде проходити через В та утворювати кут α з основою, а СВ буде проходити через О та утворювати кут β з основою. Позначимо середню точку Х між А та В.

A ____ X ____ B
/ \
/ \
/ \
/_________________\
O V

За властивостями кола, OA і OB є радіусами кола, а СA і CB є хордами, вздовж яких ми шукаємо площу перерізу.

За означеними кутами, ми можемо сказати, що кути MАV і МВA є прямими кутами. Також, кути AМХ і ВМХ будуть бісекторами кутів α та β відповідно.

Оскільки АВ є хордою, що ми бачимо під кутом α з основою, AM буде радіусом, що ми бачимо під кутом α з вершини.

Аналогічно, BV є хордою, що ми бачимо під кутом β з основою, і ВМ буде радіусом, що ми бачимо під кутом β з вершини.

Таким чином, ми можемо стверджувати, що трикутники ОАМ та ОВМ є схожими з трикутниками ОАС та ОВВ.

Схематично:

О__________V
/ | \
/ | \
/ α | β\
/________|_______\
M C

Звідси випливає, що відношення сторін трикутників ОАС і ОАМ дорівнює відношенню сторін трикутників ОВВ і ОВМ.
Тобто, $\frac{ОС}{ОМ}=\frac{АС}{АМ}$ і $\frac{ОВ}{ОМ}=\frac{ВС}{ВМ}$.

На основі цього відношення можемо знайти $\frac{ОС}{ОВ}$, використовуючи рівність $\frac{ОС}{ОВ}=\frac{АС}{АМ}\cdot \frac{ВМ}{ВС}$.

Отже, ми отримали відношення сторін хорди до сторін радіусів. Якщо позначити $S$ площу перерізу, а $S_0$ площу основи, то відношення площ буде: $\frac{S}{S_0}={(\frac{АС}{АМ}\cdot \frac{ВМ}{ВС})}^2$.

Тепер, для розв"язання оберемо деякі значення для радіуса $r$, кута $\alpha$ та кута $\beta$. Підставимо їх у вираз для площі та прорахуємо результат.