Який радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, якщо сторона трикутника має довжину 20см, а синус кута

Щоб знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, нам потрібні довжина однієї сторони трикутника і синус кута при прямому куті.

В нашому випадку, сторона трикутника має довжину 20см і синус кута при прямому куті дорівнює 0,8.

Перед тим, як приступити до розв"язання, варто знайти величину гіпотенузи трикутника. Так як трикутник є прямокутним, за теоремою Піфагора ми можемо використати формулу \(c^2 = a^2 + b^2\), де \(c\) - гіпотенуза, \(a\) і \(b\) - катети трикутника.

В нашому випадку, один катет має довжину 20см, тому \(a = 20\).

Заміщаючи це значення в формулу Піфагора, отримуємо:

\[c^2 = 20^2 + b^2\]

Далі, використовуючи відому інформацію про синус кута, ми можемо скористатися формулою синуса для знаходження другого катета трикутника. Формула синуса має вигляд: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\), де \(a\) і \(c\) - сторони трикутника, \(A\) і \(C\) - протилежні кути.

В нашому випадку, синус кута при прямому куті дорівнює 0,8, тому ми можемо записати:

\[\frac{20}{0,8} = \frac{c}{90^\circ}\]

Знаходячи значення катета \(b\) з цієї формули, ми можемо підставити його в формулу Піфагора, щоб знайти гіпотенузу трикутника \(c\).

Отже, ми маємо:

\[c^2 = 20^2 + \left(\frac{20}{0,8}\right)^2\]

Розв"язуємо це рівняння для знаходження квадрату гіпотенузи:

\[c^2 = 20^2 + 25^2\]

\[c^2 = 400 + 625\]

\[c^2 = 1025\]

Тепер знаходимо квадратний корінь з обох сторін:

\[c = \sqrt{1025}\]

Таким чином, радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, становить \(\sqrt{1025}\) сантиметрів.

Щодо радіуса кола, вписаного в трикутник, нам потрібно знати півпериметр трикутника. Півпериметр обчислюється за формулою \(s = \frac{a+b+c}{2}\), де \(a\), \(b\) і \(c\) - сторони трикутника.

У нашому випадку, ми вже знаємо значення сторони \(a\) (20 см) і гіпотенузи \(c\) (\(\sqrt{1025}\) см). Тому, знаходячи значення катета \(b\) за формулою синуса, ми можемо обчислити півпериметр трикутника, що допоможе знайти радіус кола, вписаного в трикутник.

Намалюємо формулу синуса для кута між катетами:

\(\sin B = \frac{a}{c}\)

Підставимо відомі значення:

\(\sin B = \frac{20}{\sqrt{1025}}\)

Тепер, знаючи синус кута, ми можемо знайти значення катета \(b\) за формулою синуса:

\(b = \sin B \cdot c\)

\(b = \frac{20}{\sqrt{1025}} \cdot \sqrt{1025}\)

\(b = 20\)

Тепер, коли ми знаємо значення кожної сторони трикутника \(a\), \(b\) і \(c\), можемо обчислити півпериметр \(s\):

\(s = \frac{a+b+c}{2}\)

\(s = \frac{20+20+\sqrt{1025}}{2}\)

\(s = \frac{40+\sqrt{1025}}{2}\)

Тепер, знаючи значення півпериметра, можемо обчислити радіус кола, вписаного в трикутник, за формулою:

\(r = \frac{A}{s}\), де \(A\) - площа трикутника, а \(s\) - півпериметр.

Площа трикутника обчислюється за формулою Герона:

\(A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)

Підставимо відомі значення:

\(A = \sqrt{\frac{40+\sqrt{1025}}{2} \cdot \frac{40+\sqrt{1025}}{2}-20 \cdot 20 \cdot \frac{40+\sqrt{1025}}{2}+\sqrt{1025}}\)

Вирахуємо значення площі трикутника.

А, нарешті, знаючи площу трикутника \(A\) і півпериметр \(s\), можемо обчислити радіус кола, вписаного в трикутник, за формулою:

\(r = \frac{A}{s}\)