Який період піврозпаду радію, якщо кількість радіоактивних ядер в зразку зменшиться у 16 разів за скільки років?

Для розрахунку періоду піврозпаду радію, ми можемо скористатися експоненційною формулою піврозпаду:

\[N = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

де:
- \(N\) - кількість радіоактивних ядер, що залишаються після часу \(t\)
- \(N_0\) - початкова кількість радіоактивних ядер
- \(T\) - період піврозпаду, який ми намагаємося знайти
- \(\frac{t}{T}\) - кількість періодів піврозпаду, що минули за час \(t\)

У вашій задачі кількість радіоактивних ядер зменшилася у 16 разів. Це означає, що \(N = \frac{1}{16}N_0\). Ми можемо використати це значення, щоб знайти кількість періодів піврозпаду:

\[\frac{1}{16}N_0 = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Поділимо обидві частини рівняння на \(N_0\):

\[\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]

Тепер, щоб знайти \(\frac{t}{T}\), візьмемо логарифми від обох частин рівняння:

\[\log\left(\frac{1}{16}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\right)\]

Використаємо властивість логарифма \(\log(a^b) = b\log(a)\):

\[\log\left(\frac{1}{16}\right) = \frac{t}{T}\log\left(\frac{1}{2}\right)\]

Тепер розв"яжемо рівняння щодо \(\frac{t}{T}\):

\[\frac{t}{T} = \frac{\log\left(\frac{1}{16}\right)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)}\]

Використовуючи логарифми для чисел, ми можемо обчислити праву частину:

\[\frac{t}{T} = \frac{\log\left(\frac{1}{16}\right)}{\log\left(\frac{1}{2}\right)} \approx \frac{-4}{-0.6931} \approx 5.77\]

Отже, кількість періодів піврозпаду \(\frac{t}{T}\) дорівнює приблизно 5.77. Цей результат є безрозмірною величиною, яка вказує на те, скільки разів кількість радіоактивних ядер зменшилася протягом певного періоду піврозпаду. Щоб знайти сам період піврозпаду \(T\), ми можемо використовувати рівняння:

\[\frac{t}{T} = \frac{5.77}{1}\]

Розв"язавши рівняння для \(T\), отримаємо:

\[T = \frac{t}{\frac{5.77}{1}}\]

Отже, період піврозпаду радію для вашого завдання дорівнює \(\frac{t}{5.77}\), де \(t\) - це вказаний вами час (у роках), за який кількість радіоактивних ядер зменшилася у 16 разів.