Який периметр рівнобедреного трикутника, якщо точка дотику вписаного кола розділяє бічну сторону так, що її відрізки

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства вписанных углов и равнобедренных треугольников.

Давайте начнем с построения схемы для наглядности. Представим, что у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Допустим, точка дотика вписанного круга к стороне BC находится в точке D.

Также, в треугольнике ABC, проведем отрезок DE, который является биссектрисой угла A. По свойству биссектрисы, мы знаем, что DE делит сторону BC на две части пропорционально соответствующим сторонам AB и AC. По условию, у нас есть две отрезка, которые соответствуют этому делению: BD = 3 см и DC = 5 см.

Теперь обратимся к свойству вписанных углов. Оно гласит, что угол, образованный любой хордой, равен половине угла над дугой, обращенной на эту хорду. В нашем случае, мы можем сказать, что угол BAC является вписанным углом над хордой BC.

Таким образом, у нас есть следующая система уравнений:
\[
\begin{cases}
2x + y = 180°\\
x + y = 180°
\end{cases}
\]

Где x - это угол BAC, а y - это угол ABC.

Решая эту систему уравнений, мы находим, что x = 60° и y = 120°.

Теперь обратимся к тому, что периметр треугольника можно найти как сумму длин его сторон. Треугольник ABC имеет две равные стороны, поэтому его периметр равен:
\[
P = AB + AC + BC = 2AB + BC
\]

Мы знаем, что AB = AC, поэтому можем записать:
\[
P = 2AB + BC = 2 \cdot (BD + DC) + BC = 2 \cdot (3 \, см + 5 \, см) + BC = 16 \, см + BC
\]

Теперь осталось найти длину стороны BC. Вспомним, что BD = 3 см и DC = 5 см, а также что треугольник ABC является равнобедренным, поэтому AB = AC. Учитывая это, мы можем сказать, что сторона BC равна сумме отрезков BD и DC:
\[
BC = BD + DC = 3 \, см + 5 \, см = 8 \, см
\]

Теперь можем подставить значение BC в формулу для периметра:
\[
P = 16 \, см + BC = 16 \, см + 8 \, см = 24 \, см
\]

Таким образом, периметр равнобедреного треугольника ABC, если точка дотыка вписанного круга розділяє бічну сторону так, що її відрізки становлять 3 см і 5 см, починаючи від основи, равен 24 см.