Який є обсяг конуса, який утворюється, коли прямокутний трикутник з катетами завдовжки 3 і 4 см обертається навколо

Чтобы найти объем конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета, нам потребуется использовать формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

где \(V\) - объем конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

В данной задаче, меньший катет прямоугольного треугольника равен 3 см. Угол между гипотенузой и меньшим катетом составляет 90 градусов, поэтому другой катет, значит больший катет равен 4 см.

Для начала, нам нужно найти радиус основания конуса. Радиус можно найти, используя следующую формулу:

\[r = \frac{c}{2\pi}\]

где \(c\) - окружность основания конуса. В данном случае окружность основания конуса равна периметру прямоугольного треугольника, а периметр можно найти, сложив все стороны треугольника.

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин всех его сторон, то есть \(3 + 4 + 5 = 12\) см.

Теперь, чтобы найти радиус \(r\), мы используем формулу \(r = \frac{12}{2\pi}\):

\[r = \frac{12}{2\pi} \approx \frac{12}{6.28} \approx 1.91 \, \text{см}\]

Затем, чтобы найти высоту \(h\) конуса, нам нужно использовать теорему Пифагора для нашего прямоугольного треугольника, так как меньший катет (\(3\) см) и больший катет (\(4\) см) являются его сторонами, а гипотенуза треугольника будет являться высотой конуса.

Теорема Пифагора гласит: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.

Применяя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу:

\[c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Таким образом, высота \(h\) нашего конуса равна 5 см.

Теперь у нас есть все значения, необходимые для вычисления объема конуса.

Подставим найденные значения в формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (1.91)^2 \times 5\]

Произведем необходимые вычисления:

\[V \approx \frac{1}{3} \times 3.14 \times (3.6481) \times 5 \approx 9.635 \, \text{см}^3\]

Ответ: Объем конуса, который образуется при вращении прямоугольного треугольника с катетами длиной 3 и 4 см вокруг меньшего катета, составляет примерно 9.635 \, \text{см}^3.