Яким є кут між дотичними, проведеними через кінці радіусів кола, якщо кут між цими радіусами дорівнює 150?

Добро пожаловать в нашу урок по геометрии!

В данной задаче нам необходимо определить угол между касательными, проведенными через концы радиусов окружности, если угол между этими радиусами составляет 150 градусов.

Давайте рассмотрим решение этой задачи.

1. У нас есть окружность с радиусами \(OA\) и \(OB\), а также угол между ними, обозначим его как \(\angle AOB\) и он равен 150 градусов.

\[
\angle AOB = 150^{\circ}
\]

2. Мы также знаем, что касательные к окружности, проведенные через концы радиусов, являются перпендикулярными к соответствующим радиусам в точках их пересечения с окружностью. Обозначим точки пересечения радиусов и касательных как точки \(C\) и \(D\) соответственно.

3. Поскольку касательные к окружности перпендикулярны к радиусам в точках их пересечения, то треугольник \(OCD\) является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике \(OCD\) нам известен угол между катетами, он равен 90 градусов, а также известен угол между гипотенузой и одним из катетов (угол \(\angle ODC\)), он равен половине угла \(\angle AOB\).

5. Для определения значения угла \(\angle ODC\) воспользуемся формулой для нахождения угла прямоугольного треугольника:

\[
\tan(\angle ODC) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}
\]

В нашем случае противоположный катет - это \(OC\), а прилежащий катет - \(DC\).

\[
\tan(\angle ODC) = \frac{{OC}}{{DC}}
\]

6. Теперь найдем значение тангенса угла, зная значения радиусов окружности:

\[
\tan(\angle ODC) = \frac{{OA}}{{OD}}
\]

7. Подставим значения радиусов и рассчитаем:

\[
\tan(\angle ODC) = \frac{{r}}{{r}} = 1
\]

8. Теперь найдем угол \(\angle ODC\) с использованием арктангенса:

\[
\angle ODC = \arctan(1)
\]

\[
\angle ODC \approx 45^{\circ}
\]

9. Так как угол \(\angle AOB = 150^{\circ}\), а угол \(\angle ODC \approx 45^{\circ}\), то угол между касательными, проведенными через концы радиусов, будет равен разности этих двух углов:

\[
\text{Угол между касательными} = \angle AOB - \angle ODC = 150^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}
\]

Таким образом, угол между касательными, проведенными через концы радиусов окружности, составляет 105 градусов.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам лучше понять данную задачу.