Яким є кут між дотичними, проведеними через кінці радіусів кола, якщо кут між цими радіусами дорівнює 150?

Добро пожаловать в нашу урок по геометрии!

В данной задаче нам необходимо определить угол между касательными, проведенными через концы радиусов окружности, если угол между этими радиусами составляет 150 градусов.

Давайте рассмотрим решение этой задачи.

1. У нас есть окружность с радиусами $OA$ и $OB$, а также угол между ними, обозначим его как $\mathrm{\angle }AOB$ и он равен 150 градусов.

$$\mathrm{\angle }AOB={150}^{\circ }$$

2. Мы также знаем, что касательные к окружности, проведенные через концы радиусов, являются перпендикулярными к соответствующим радиусам в точках их пересечения с окружностью. Обозначим точки пересечения радиусов и касательных как точки $C$ и $D$ соответственно.

3. Поскольку касательные к окружности перпендикулярны к радиусам в точках их пересечения, то треугольник $OCD$ является прямоугольным.

4. В прямоугольном треугольнике $OCD$ нам известен угол между катетами, он равен 90 градусов, а также известен угол между гипотенузой и одним из катетов (угол $\mathrm{\angle }ODC$), он равен половине угла $\mathrm{\angle }AOB$.

5. Для определения значения угла $\mathrm{\angle }ODC$ воспользуемся формулой для нахождения угла прямоугольного треугольника:

$$\tan (\mathrm{\angle }ODC)=\frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

В нашем случае противоположный катет - это $OC$, а прилежащий катет - $DC$.

$$\tan (\mathrm{\angle }ODC)=\frac{OC}{DC}$$

6. Теперь найдем значение тангенса угла, зная значения радиусов окружности:

$$\tan (\mathrm{\angle }ODC)=\frac{OA}{OD}$$

7. Подставим значения радиусов и рассчитаем:

$$\tan (\mathrm{\angle }ODC)=\frac{r}{r}=1$$

8. Теперь найдем угол $\mathrm{\angle }ODC$ с использованием арктангенса:

$$\mathrm{\angle }ODC=\arctan (1)$$

$$\mathrm{\angle }ODC\approx {45}^{\circ }$$

9. Так как угол $\mathrm{\angle }AOB={150}^{\circ }$, а угол $\mathrm{\angle }ODC\approx {45}^{\circ }$, то угол между касательными, проведенными через концы радиусов, будет равен разности этих двух углов:

$$\text{Угол между касательными}=\mathrm{\angle }AOB-\mathrm{\angle }ODC={150}^{\circ }-{45}^{\circ }={105}^{\circ }$$

Таким образом, угол между касательными, проведенными через концы радиусов окружности, составляет 105 градусов.

Надеюсь, что данное объяснение помогло вам лучше понять данную задачу.