Яким буде радіус кола, яке вписане в ромб з діагоналлю, що починається в одному з кутів і має довжину 24 см?
Сумасшедший_Рыцарь_56
Давайте вместе решим задачу. У нас есть ромб, у которого одна из диагоналей (пусть это будет диагональ АС) имеет заданную длину. Мы хотим найти радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Поскольку ромб - это специальный вид параллелограмма, у него есть несколько свойств, которые нам помогут решить эту задачу. Давайте рассмотрим рисунок ниже:
\[
\begin{array}{c}
A \\
\mid \\
D\leftrightarrow B \\
\mid \\
C
\end{array}
\]
Пусть \(AB\) будет диагональю ромба, заданной в условии задачи. Поскольку в ромбе все стороны равны, \(AD = DB = BC = AC = AB/2\).
Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности, деленному на площадь треугольника. Теперь мы можем применить это знание к нашей задаче.
В нашем случае мы имеем дело с треугольником \(ADC\). Его полупериметр равен \((AC + AD + DC)/2 = (AB/2 + AB/2 + AB/2)/2 = AB/2\).
Площадь треугольника \(ADC\) можно найти, используя формулу Герона:
\[
S = \sqrt{p(p - AD)(p - DC)(p - AC)},
\]
где \(p\) - полупериметр треугольника.
В нашем случае \(p = AB/2\) и соответственно \(S = \sqrt{(AB/2)(AB/2)(AB/2)(AB/2)} = \frac{AB^2}{4}\).
Теперь мы можем записать формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник \(ADC\):
\[
r = \frac{\text{{полупериметр}} \times \text{{радиус вписанной окружности}}}{S}
\]
\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4}
\]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r\). Упростим его:
\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4} \Longrightarrow r = \frac{2r}{AB} \Longrightarrow AB = 2r
\]
Значит, радиус окружности будет равен половине длины диагонали ромба:
\[
r = \frac{AB}{2} = \frac{AC}{2} = \frac{AD}{2} = \frac{DB}{2}
\]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в ромб с заданной диагональю \(AB\), будет равен \(AB/2\).
Поскольку ромб - это специальный вид параллелограмма, у него есть несколько свойств, которые нам помогут решить эту задачу. Давайте рассмотрим рисунок ниже:
\[
\begin{array}{c}
A \\
\mid \\
D\leftrightarrow B \\
\mid \\
C
\end{array}
\]
Пусть \(AB\) будет диагональю ромба, заданной в условии задачи. Поскольку в ромбе все стороны равны, \(AD = DB = BC = AC = AB/2\).
Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности, деленному на площадь треугольника. Теперь мы можем применить это знание к нашей задаче.
В нашем случае мы имеем дело с треугольником \(ADC\). Его полупериметр равен \((AC + AD + DC)/2 = (AB/2 + AB/2 + AB/2)/2 = AB/2\).
Площадь треугольника \(ADC\) можно найти, используя формулу Герона:
\[
S = \sqrt{p(p - AD)(p - DC)(p - AC)},
\]
где \(p\) - полупериметр треугольника.
В нашем случае \(p = AB/2\) и соответственно \(S = \sqrt{(AB/2)(AB/2)(AB/2)(AB/2)} = \frac{AB^2}{4}\).
Теперь мы можем записать формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник \(ADC\):
\[
r = \frac{\text{{полупериметр}} \times \text{{радиус вписанной окружности}}}{S}
\]
\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4}
\]
Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r\). Упростим его:
\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4} \Longrightarrow r = \frac{2r}{AB} \Longrightarrow AB = 2r
\]
Значит, радиус окружности будет равен половине длины диагонали ромба:
\[
r = \frac{AB}{2} = \frac{AC}{2} = \frac{AD}{2} = \frac{DB}{2}
\]
Таким образом, радиус окружности, вписанной в ромб с заданной диагональю \(AB\), будет равен \(AB/2\).
Знаешь ответ?