Яким буде радіус кола, яке вписане в ромб з діагоналлю, що починається в одному з кутів і має довжину

Давайте вместе решим задачу. У нас есть ромб, у которого одна из диагоналей (пусть это будет диагональ АС) имеет заданную длину. Мы хотим найти радиус окружности, вписанной в этот ромб.

Поскольку ромб - это специальный вид параллелограмма, у него есть несколько свойств, которые нам помогут решить эту задачу. Давайте рассмотрим рисунок ниже:

\[
\begin{array}{c}
A \\
\mid \\
D\leftrightarrow B \\
\mid \\
C
\end{array}
\]

Пусть \(AB\) будет диагональю ромба, заданной в условии задачи. Поскольку в ромбе все стороны равны, \(AD = DB = BC = AC = AB/2\).

Мы знаем, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен произведению полупериметра треугольника и радиуса вписанной окружности, деленному на площадь треугольника. Теперь мы можем применить это знание к нашей задаче.

В нашем случае мы имеем дело с треугольником \(ADC\). Его полупериметр равен \((AC + AD + DC)/2 = (AB/2 + AB/2 + AB/2)/2 = AB/2\).

Площадь треугольника \(ADC\) можно найти, используя формулу Герона:

\[
S = \sqrt{p(p - AD)(p - DC)(p - AC)},
\]

где \(p\) - полупериметр треугольника.

В нашем случае \(p = AB/2\) и соответственно \(S = \sqrt{(AB/2)(AB/2)(AB/2)(AB/2)} = \frac{AB^2}{4}\).

Теперь мы можем записать формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник \(ADC\):

\[
r = \frac{\text{{полупериметр}} \times \text{{радиус вписанной окружности}}}{S}
\]

\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4}
\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r\). Упростим его:

\[
r = \frac{AB/2 \times r}{AB^2/4} \Longrightarrow r = \frac{2r}{AB} \Longrightarrow AB = 2r
\]

Значит, радиус окружности будет равен половине длины диагонали ромба:

\[
r = \frac{AB}{2} = \frac{AC}{2} = \frac{AD}{2} = \frac{DB}{2}
\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в ромб с заданной диагональю \(AB\), будет равен \(AB/2\).