Які значення радіуса основи та висоти конуса, якщо його основа утворює правильний трикутник зі стороною

Щоб знайти значення радіуса основи та висоти конуса, ми повинні скористатися властивостями правильного трикутника і конуса.

Оскільки основа конуса утворює правильний трикутник, значить, всі його сторони і кути рівні.

Нехай a - сторона правильного трикутника, тоді всі його сторони рівні a.

Також врахуймо, що висота конуса є відрізком, який спускається з вершини конуса точно під прямим кутом до площини основи.

Оскільки у правильному трикутнику всі кути рівні, або 60 градусів, можемо відразу визначити дві сторони прямокутного трикутника, які лежать на площині основи конуса.

Розглянемо половину правильного трикутника (враховуючи прямий кут):

\[
\sin 60^\circ = \frac{{a/2}}{{h}}
\]

Підставляємо відоме значення \(\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\), аби знайти висоту конуса \(h\):

\[
\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{a/2}}{{h}}
\]

Множимо обидві частини рівняння на \(2\):

\[
\sqrt{3} = \frac{{a}}{{h}}
\]

Потім домножимо обидві частини на \(h\):

\[
\sqrt{3} \cdot h = a
\]

Підносимо обидві частини рівняння до квадрату для позбавлення кореня:

\[
(\sqrt{3} \cdot h)^2 = a^2
\]

Спрощуємо ліву частину рівняння:

\[
3 \cdot h^2 = a^2
\]

Для знаходження радіуса основи конуса, ми маємо врахувати, що кожна сторона правильного трикутника є радіусом кола, вписаного в цей трикутник.

Виходячи з цього, ми можемо записати рівняння:

\[
\frac{{a}}{{2}} = \frac{{r}}{{\cos 30^\circ}}
\]

Де \(r\) - це радіус кола, яке вписано в правильний трикутник. Значення \(\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\).

Таким чином, ми виводимо наступне рівняння:

\[
\frac{{a}}{{2}} = \frac{{r}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{{2}}}}
\]

Множимо обидві частини рівняння на \(\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}\):

\[
\frac{{a}}{{2}} \cdot \frac{{2}}{{\sqrt{3}}} = r
\]

Спрощуємо праву частину рівняння:

\[
\frac{{a}}{{\sqrt{3}}} = r
\]

Отже, ми отримали значення радіуса основи конуса \(r\) та висоту конуса \(h\):

\[
r = \frac{{a}}{{\sqrt{3}}} \quad \text{тa} \quad h = \sqrt{3} \cdot r
\]

Саме такі значення радіуса основи та висоти конуса, де його основа утворює правильний трикутник зі стороною \(a\).