Які зміни відбудуться зі швидкістю поширення світлових хвиль у склі, якщо вона переходить із вакууму і його показник

Швидкість поширення світлових хвиль у різних середовищах залежить від їх показників заломлення. Закон зрушення Френеля відображає зв"язок між цими двома величинами:

\[
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{c}}{{v}}
\]

де \(\theta_1\) і \(\theta_2\) - кути падіння і заломлення, \(v_1\) і \(v_2\) - швидкості поширення світла у вакуумі і склі, \(c\) - швидкість світла у вакуумі, \(v\) - швидкість світла у склі.

Задача полягає у визначенні змін швидкості поширення світла у склі при переході з вакууму. Для вакууму показник заломлення дорівнює 1, оскільки швидкість світла у вакуумі максимальна.

За формулою зв"язку показників заломлення можемо записати:

\[
\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1}}{{1,5}}
\]

Для спрощення обчислень можемо скористатися фактом, що кути падіння і заломлення у склі дуже малі. Тоді можемо апроксимувати \(\sin(\theta_1) \approx \tan(\theta_1)\) і \(\sin(\theta_2) \approx \tan(\theta_2)\). Отримаємо:

\[
\frac{{\tan(\theta_1)}}{{\tan(\theta_2)}} = \frac{{1}}{{1,5}}
\]

Знаючи, що \(\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\), можемо поділити чисельник і знаменник на \(\cos(\theta_1)\) і \(\cos(\theta_2)\) відповідно:

\[
\frac{{\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\cos(\theta_1)}}}}{{\frac{{\sin(\theta_2)}}{{\cos(\theta_2)}}}} = \frac{{1}}{{1,5}}
\]

Після спрощення отримаємо:

\[
\frac{{\tan(\theta_1)}}{{\tan(\theta_2)}} = \frac{{\cos(\theta_2)}}{{\cos(\theta_1)}} = \frac{{1}}{{1,5}}
\]

Таким чином, ми отримали співвідношення між косинусами кутів падіння і заломлення. Приведене співвідношення можна розв"язати за допомогою тригонометричних таблиць або калькулятора. Нехай \(\alpha\) - кут падіння на границі розділу вакууму і скла, а \(\beta\) - кут заломлення в склі. Тоді:

\[
\frac{{\cos(\beta)}}{{\cos(\alpha)}} = \frac{{1}}{{1,5}}
\]

Або:

\[
\frac{{\cos(\alpha)}}{{\cos(\beta)}} = 1,5
\]

Знаючи, що \(\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)}\), можемо підставити це значення:

\[
\frac{{\cos(\alpha)}}{{\sqrt{1 - \sin^2(\beta)}}} = 1,5
\]

Тепер ми маємо систему рівнянь, де залучені кути падіння і заломлення:

\[
\begin{{cases}}
\frac{{\cos(\alpha)}}{{\sqrt{1 - \sin^2(\beta)}}} = 1,5 \\
\frac{{\sin(\alpha)}}{{\sin(\beta)}} = 1,5
\end{{cases}}
\]

Розв"язавши цю систему рівнянь, ми зможемо знайти значення кутів \(\alpha\) і \(\beta\), що відповідають заданому показнику заломлення. Ці значення кутів падіння і заломлення будуть відповідати змінам у швидкості поширення світлових хвиль у склі. Однак розв"язувати цю систему рівнянь складно аналітично, тому краще скористатися графічним або числовим методом розв"язування задачі.