Які довжини катетів і другого гострого кута у прямокутного трикутника з гіпотенузою c = 14 см і кутом α = 43°?

Дано прямокутный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой c. Нам также известно, что угол α между гипотенузой и одним из катетов равен 43°. Нам необходимо найти значения катетов треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора для решения этой задачи. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

В данной задаче мы знаем значение гипотенузы c, поэтому мы можем подставить его в уравнение:

\[14^2 = a^2 + b^2\]

Теперь мы должны найти значения катетов a и b. Чтобы решить это уравнение, нам нужно избавиться от квадратов в уравнении. Мы также знаем, что угол α между гипотенузой и катетом a равен 43°.

Мы можем использовать свойство тангенса для нахождения значения катета. Тангенс угла α выражается как отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

\[\tan(α) = \frac{a}{c}\]

Подставим значения и решим уравнение:

\[\tan(43°) = \frac{a}{14}\]

\[\frac{a}{14} = \tan(43°)\]

\[a = 14 \cdot \tan(43°)\]

Вычислим значение катета a, округлив его до сотых:

\[a = 14 \cdot \tan(43°) \approx 14 \cdot 0.9325 \approx 13.03 \, \text{см}\]

Аналогично, мы можем использовать свойство тангенса для нахождения значения второго катета b. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то угол β между гипотенузой и катетом b равен 90° - α (угол β = 90° - α).

Мы можем использовать свойство тангенса для нахождения значения катета b:

\[\tan(β) = \frac{b}{c}\]

\[\tan(90° - α) = \frac{b}{14}\]

Теперь мы можем решить уравнение:

\[\tan(90° - 43°) = \frac{b}{14}\]

\[\frac{b}{14} = \tan(47°)\]

\[b = 14 \cdot \tan(47°)\]

Вычислим значение катета b, округлив его до сотых:

\[b = 14 \cdot \tan(47°) \approx 14 \cdot 1.0724 \approx 15.03 \, \text{см}\]

Округлив значения катетов до сотых, получаем следующие ответы:

а ≈ 13.03 см
b ≈ 15.03 см

Таким образом, длина катетов прямоугольного треугольника с гипотенузой c = 14 см и углом α = 43° округленные до сотых, составляют соответственно около 13.03 см и 15.03 см.