Яке відношення об єму конуса до об єму кулі з однаковим радіусом основи?

Щоб відповісти на ваше запитання про відношення об"єму конуса до об"єму кулі з однаковим радіусом основи, ми спочатку залучимо деякі концепти та формули з геометрії.

Об"єм конуса можна обчислити за формулою: \[V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot S_{основи} \cdot h,\]
де \(S_{основи}\) - площа основи конуса, \(h\) - висота конуса.

Об"єм кулі визначається формулою: \[V_{кулі} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3,\]
де \(\pi\) - число пі, \(r\) - радіус кулі.

Тепер, коли ми знаємо формули, ми можемо порівняти відношення об"ємів:

\[\frac{V_{конуса}}{V_{кулі}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S_{основи} \cdot h}{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3}.\]

Зверніть увагу, що радіус основи конуса і радіус кулі однакові і позначені як \(r\). Це означає, що \(S_{основи}\) можна замінити на площу поверхні кулі, який також дорівнює \(4\pi r^2\).

Тепер ми отримуємо:

\[\frac{V_{конуса}}{V_{кулі}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot 4\pi r^2 \cdot h}{\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3}.\]

На зарази, деякі фактори спрощуються і зникають:

\[\frac{V_{конуса}}{V_{кулі}} = \frac{\cancel{\frac{1}{3}} \cdot \cancel{4}\cancel{\pi} \cancel{r^2} \cdot \cancel{h}}{\cancel{\frac{4}{3}} \cdot \cancel{\pi} \cdot \cancel{r^3}}.\]

Залишилися такі фактори:

\[\frac{V_{конуса}}{V_{кулі}} = \frac{h}{r}.\]

Отже, відношення об"єму конуса до об"єму кулі з однаковим радіусом основи дорівнює \(\frac{h}{r}\).

Це відношення можна інтерпретувати як висоту конуса поділену на радіус його основи. Воно залишається постійним незалежно від розмірів конуса та кулі, якщо вони мають однакові радіуси основи.

Таким чином, відношення об"єму конуса до об"єму кулі з однаковим радіусом основи дорівнює \(\frac{h}{r}\).