Яке найбільше значення кута у трикутнику із сторонами 8 см, 15

Для этого нам понадобится использовать теорему косинусов, которая позволяет нам найти значение угла в треугольнике, зная длины его сторон. Формула теоремы косинусов выглядит следующим образом:

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos (A)$$

где a, b и c - длины сторон треугольника, A - угол, острый или тупой, напротив стороны a.

В данном случае у нас есть стороны треугольника длиной 8 см, 15 см и неизвестной стороной, обозначим ее как x.

Мы можем использовать теорему косинусов дважды, чтобы найти значение x и угол, который нам нужен.

Первое применение теоремы косинусов будет выглядеть следующим образом:

$$x^2=8^2+{15}^2-2\cdot 8\cdot 15\cdot \cos (A)$$

Перепишем это уравнение:

$$x^2=64+225-240\cdot \cos (A)$$

Для второго применения теоремы косинусов, мы будем использовать известные нам стороны треугольника: 8 см, 15 см и x см.

$${15}^2=8^2+x^2-2\cdot 8\cdot x\cdot \cos (A)$$

Перепишем это уравнение:

$$225=64+x^2-16x\cdot \cos (A)$$

Теперь, когда у нас есть два уравнения, решим их вместе.

Мы можем представить одно из уравнений в виде x:

$$x=\sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}$$

Заменим это значение x во втором уравнении:

$$225=64+(\sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}{)}^2-16\cdot \sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}\cdot \cos (A)$$

Раскроем скобки:

$$225=64+64+225-240\cdot \cos (A)-16\cdot \sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}\cdot \cos (A)$$

Упростим выражение:

$$0=-240\cdot \cos (A)-16\cdot \sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}\cdot \cos (A)$$

Разделим обе части уравнения на -16:

$$15\cdot \cos (A)=\sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}\cdot \cos (A)$$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

$$(15\cdot \cos (A){)}^2=(\sqrt{64+225-240\cdot \cos (A)}\cdot \cos (A){)}^2$$

Упростим выражение:

$$225\cdot {\cos }^2(A)=(64+225-240\cdot \cos (A))\cdot {\cos }^2(A)$$

Раскроем скобки:

$$225\cdot {\cos }^2(A)=64\cdot {\cos }^2(A)+225\cdot {\cos }^2(A)-240\cdot {\cos }^3(A)$$

Сократим части выражения:

$$64\cdot {\cos }^2(A)-240\cdot {\cos }^3(A)=0$$

Теперь вынесем общий множитель:

$$64\cdot {\cos }^2(A)\cdot (1-240\cdot \cos (A))=0$$

У нас есть два возможных случая:

1) ${\cos }^2(A)=0$

В этом случае угол А будет равен 90 градусов, так как косинус 90 градусов равен 0. Ответ: $A={90}^{\circ }$.

2) $1-240\cdot \cos (A)=0$

Решим это уравнение:

$$240\cdot \cos (A)=1$$

$$\cos (A)=\frac{1}{240}$$

С помощью инверсии косинуса, мы найдем значение угла А:

$$A=\arccos \left(\frac{1}{240}\right)$$

Подсчитаем это значение с помощью калькулятора:

$$A\approx {89.34}^{\circ }$$

Выбираем наибольшее значение угла из двух возможных ответов: $A\approx {89.34}^{\circ }$.

Таким образом, наибольшим значением угла в треугольнике с заданными сторонами будет примерно 89.34 градусов.