Яка власна швидкість човна повинна бути, щоб наздогнати пліт за менш ніж 2 години, якщо човен вирушив з пункту a проти

Щоб розв"язати цю задачу, спочатку звернемося до формули, яка описує відстань, яку проходить човен від пункту "а" до плоту:
\[D = Vt\]
де \(D\) - відстань, \(V\) - швидкість човна, \(t\) - час.

Ми знаємо, що пліт проплив від пункту "а" через 4 години, тому відстань, на яку його випереджає човен, можна виразити як:
\[D = V \cdot 4\]

Задача полягає в тому, що човен має наздогнати цю відстань за менш ніж 2 години. Тобто:
\[D = V \cdot t < 2\]

Отже, ми отримали систему рівнянь:
\[\begin{cases} D = V \cdot 4 \\ D = V \cdot t < 2 \end{cases}\]

Тепер використаємо залежність швидкості від відстані, яку проходить човен проти течії річки. Нехай \(V_{c}\) - швидкість човна відносно води, а \(V_{r}\) - швидкість течії. Тоді швидкість човна відносно землі буде дорівнювати різниці цих швидкостей:
\[V = V_{c} - V_{r}\]

Аналогічно, швидкість плоту відносно землі:
\[V_{p} = V_{c} + V_{r}\]

З умови задачі відомо, що пліт рухався в тому ж напрямку, тобто швидкість човна відносно землі була меншою за швидкість плоту:
\[V < V_{p}\]

Підставимо отримані формули в систему рівнянь:
\[\begin{cases} D = (V_{c} - V_{r}) \cdot 4 \\ D = (V_{c} - V_{r}) \cdot t < 2 \end{cases}\]
\[\begin{cases} D = (V_{c} - V_{r}) \cdot 4 \\ (V_{c} - V_{r}) \cdot t < 2 \end{cases}\]

Тепер ми можемо виразити відстань \(D\) через \(V_{c}\) і \(V_{r}\), а потім підставити в друге рівняння:
\[(V_{c} - V_{r}) \cdot 4 = (V_{c} - V_{r}) \cdot t < 2\]
\[4(V_{c} - V_{r}) < 2\]
\[2(V_{c} - V_{r}) < 1\]

З умови задач, відомо, що швидкості плоту і течії становлять 8 км/год і 2 км/год відповідно. Підставимо ці значення:
\[2(V_{c} - 2) < 1\]
\[2V_{c} - 4 < 1\]
\[2V_{c} < 5\]
\[V_{c} < \frac{5}{2}\]

Отже, швидкість човна \(V_{c}\) повинна бути менше за \(\frac{5}{2}\) км/год, щоб наздогнати пліт за менше ніж 2 години.