Яка є радіус основи циліндра, якщо площа перерізу дорівнює 48 см² і дуга відсікається від основи на 90 градусів

Для решения этой задачи, мы будем использовать геометрические свойства цилиндра.

По условию, известно, что площадь поперечного сечения (площадь основы цилиндра) равна 48 см². Обозначим радиус основы цилиндра как \(r\).

Также известно, что дуга отсекается от основы на 90 градусов и расстояние от дуги до оси цилиндра равно 3 см.

Построим схему для наглядности:

\[
\begin{array}{c}
\\
\text{{Т}}\\
\\
\text{{Т}}\\
\text{{В}}\\
\text{{О}}\\
\text{{Д}}\\
\text{{О}}\\
\end{array}
\begin{array}{c}
\leftarrow 3 \, \text{{см}}\\
\\
\\
\\
\text{{Ц}}\\
\\
\\
\end{array}
\]

где ТВОД - поперечное сечение цилиндра, Ц - ось цилиндра.

Из схемы видно, что дуга отсекается от окружности основы цилиндра, и ее длина равна периметру дуги (\(P\)).

Чтобы найти площадь поперечного сечения и периметр дуги, воспользуемся следующими формулами:

\[A = \pi r^2 \quad \text{{(1)}}\]
\[P = \frac{{2\pi r \cdot \theta}}{360} \quad \text{{(2)}}\]

Где A - площадь поперечного сечения, P - периметр дуги, \(\pi\) - математическая константа, приближенно равная 3,14159, \(r\) - радиус основы цилиндра, \(\theta\) - угол, в данном случае 90 градусов.

Подставим значения в формулу (2):

\[48 = \frac{{2\pi r \cdot 90}}{360}\]

Упростим и решим уравнение:

\[48 = \frac{{\pi r \cdot 90}}{180}\]
\[96 = \pi r \cdot \frac{{90}}{{180}}\]
\[96 = \pi r \cdot \frac{1}{2}\]
\[192 = \pi r\]

Теперь, найдем радиус основы цилиндра:

\[r = \frac{{192}}{{\pi}} \approx 61.15 \, \text{{см}}\]

Итак, радиус основы цилиндра равен примерно 61.15 см.

Для нахождения высоты цилиндра, мы можем использовать теорему Пифагора, так как расстояние от дуги до оси цилиндра (3 см) является одной из сторон прямоугольного треугольника с гипотенузой — радиусом основы цилиндра, а катетом — высотой цилиндра (h). Таким образом, у нас получается следующее уравнение:

\[h^2 = r^2 - 3^2\]
\[h^2 = (\frac{{192}}{{\pi}})^2 - 3^2\]
\[h^2 = \frac{{36864}}{{\pi^2}} - 9\]
\[h^2 \approx 374.51 - 9\]
\[h^2 \approx 365.51\]
\[h \approx \sqrt{365.51}\]
\[h \approx 19.12 \, \text{{см}}\]

Таким образом, высота цилиндра примерно равна 19.12 см.